Mustaqil ish -5: Oddiy differensial tenglamalar

Mustaqil ish -5: Oddiy differensial tenglamalar
1. Asosiy tushunchalar.
erkli o’zgaruvchi, shu o’zgaruvchining funksiyasi va hosilani bog’lovchi
(1)
munosabat 1- tartibli differensial tenglama deyiladi.
Agar (1) munosabatda ni funksiya bilan almashtirish natijasida ayniyat hosil bo’lsa, funksiya (1) tenglamaning yechimi deyiladi.
Agar

munosabatlardan C parametr yo’qotilgandan so’ng (1) tenglama hosil bo’lsa, u holda
(2)
oshkormas funksiya (1) tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
Ixtiyoriy C o’zgarmasga ma‘lum qiymat berish natijasida umumiy integraldan hosil qilingan oshkormas funksiya (1) differensial tenglamaning xususiy integrali deyiladi.
Geometrik nuqtai nazardan umumiy integral koordinatalar tekisligida C parametrga bog’liq bo’lgan va tenglamaning integral egri chiziqlari deb ataladigan egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Xususiy integralga bu oilaning ga mos bo’lgan egri chizig’i mos keladi.
Ayrim hollarda (2) dan
y=(x,C) (3)
ko’rinishdagi (1) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilish mumkin.
Umumiy integralni, shuningdek umumiy yechimni topish jarayoni (1) tenglamani integrallash deb yuritiladi.
Izoh. Ayrim hollarda qulaylik tug’dirish maqsadida o’zgarmas C ning o’rniga kC yoki klnC olinadi, bu yerda k – ixtiyoriy son.
C o’zgarmasga ma‘lum qiymat berish natijasida y=(x,C) umumiy yechimdan hosil qilingan har qanday funksiya (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.
Qulaylik uchun (1) differensial tenglama hosilaga nisbatan yechilgan
(4)
tenglama shaklida yoki simvolik ravishda differensiallar ishtirok etgan
(5)
tenglama shaklida ifodalashga harakat qilinadi.
Izoh. Ayrim hollarda (4) o’rniga y ni erkli o’zgaruvchi deb, shu o’zgaruvchining x( ) funksiyasiga mos tenglama ham qaraladi.
(1) tenglamaning boshlang’ich shart deb nomlanadigan
y(x₀)=y₀ (6)
ko’rinishdagi shartni qanoatlantiradigan yechimlarini topish masalasi Koshi¹ masalasi yoki boshlang’ich masala deyiladi.
(4) tenglama uchun Koshi masalasi qisqacha quyidagicha yoziladi :
,
Koshi masalasi geometrik nuqtai nazardan qaraganda barcha integral egri chiziqlar ichidan berilgan nuqtadan o’tuvchi integral egri chiziqni topish masalasidir.
Agar nuqtadan ikkita va undan ko’p integral chiziqlar o’tsa bu nuqtada yagonalik sharti bajarilmagan deb yuritiladi.
Agar (1) tenglamaning yechimi uchun ixtiyoriy nuqtada yagonalik sharti bajarilmasa u holda maxsus yechim deyiladi.
Izoh. (1) differensial tenglamaning maxsus yechimi (agar mavjud bo’lsa) C ning hech qanday qiymatida (3) ni (shuningdek (2) ni) qanoatlantirmaydi.
Maxsus yechimlarni aniqlash uchun alohida usullar mavjud. Biz ularni 5-§ da bayon qilamiz.
Berilgan tenglama aniqlanish sohasining har bir nuqtasidan o’tuvchi va abssissa o’qi bilan burchak tashkil qiluvchi to’g’ri chiziqlar oilasiga differensial tenglamaning yo’nalishlar maydoni deyiladi.
Har bir nuqtasida yo’nalishlar maydoni bir xil bŏlgan chiziq izoklina deyiladi. Izoklina tushunchasini yana quyidagicha izohlash mumkin:
Bir hil yo’nalishga ega bo’lgan integral egri chiziqga o’tkazilgan urinmalar urinish nuqtalarining geometrik ŏrni izoklina deyiladi.
tenglamaning izoklinalar oilasi =k tenglamalar bilan aniqlanadi.
(4) tenglamaning nuqtadan o’tuvchi integral chiziqni tasvirlash uchun k ning yetarlicha ko’p qiymatlariga mos izoklinalar chiziladi. Har bir izoklina bo’ylab mos burchak koeffitsienti k ga teng shtrixlar yasaladi.
nuqtadan boshlab har bir izoklinani mazkur strixlarga parallel ravishda integral chiziq yasaladi.
1-rasmda mazkur yasashlar tenglama uchun amalga oshirilgan. Bu tenglamaning umumiy yechimi bo’lishini tekshirish qiyin emas.

1-rasm.
2. O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar.
(7)
ko’rinishdagi differensial tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi.
(7) tenglamani

ko’rinishlarga keltirsa bo’ladi.
belgilashlarni kiritsak, natijada o’zgaruvchilari ajralgan
tenglamaga ega bo’lamiz.
Ravshanki, bu tenglama
ko’rinishdagi umumiy integralga ega.