Namangan davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi

Taqqoslamalar nazariyasining ba’zi tadbiqlari
1.Berilgan songa bo’lishdan chiqqan qoldiqni hisoblash. Taqqoslamalar
yordamida bo’linish belgilarini keltirib chiqarish.
Birinchi bo‘lib fransuz matematigi B. Paskal berilgan N sonini m ga bo‘lishdan chiqqan qoldiqni hisoblash qulay bo‘ladigan qilib boshqa son bilan almashtirishning umumiy usulini ko‘rsatgan. Biz bu usulni o‘nlik sanoq sistemasida berilgan sonlar uchun qarab chiqamiz. O’nlik sistemadagi 𝑁 soni 𝑁 = 𝑎0 + 𝑎1 · 10 + 𝑎2 · 102 + … +
𝑎𝑛 · 10𝑛 ko‘rinishda bo‘lsin. 10𝑘 ning 𝑚 moduli bo‘yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmasini 𝑟𝑘 bilan belgilaylik, ya‘ni 10𝑘 Ξ 𝑟𝑘(𝑚𝑜𝑑𝑚), 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 va 𝑟0 = 1 bo‘lsin. U holda
𝑁 = 𝑎0𝑟0 + 𝑎1 · 𝑟1 + 𝑎2 · 𝑟2 + … + 𝑎𝑛 · 𝑟𝑛 (1)
yoki
𝑁 Ξ 𝑅𝑚(𝑚𝑜𝑑𝑚)
bajariladi. Bu yerda 𝑅𝑚 = 𝑎0𝑟0 + 𝑎1 · 𝑟1 + 𝑎2 · 𝑟2 + … + 𝑎𝑛 · 𝑟𝑛 yuqorida aytib o‘tilgan almashtirishni ifodalaydi. (1)-taqqoslama Paskalning bo‘linish belgisini ifodalaydi:
𝑅𝑚 va 𝑁 ni m ga bo‘lishdan bir xil qoldiq qoladi;
𝑁 ning m ga bo‘linishi uchun 𝑅𝑚 ning m ga bo‘linishi zarur va yetarlidir. Endi ba‘zi bir xususiy hollarni qaraymiz:
1). Agar 𝑚 = 3 bo‘lsa, u holda 10 Ξ 1(𝑚𝑜𝑑3) va 10𝑘 Ξ 1(𝑚𝑜𝑑3) bo‘lgani uchun 𝑅3 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎𝑛 bo‘ladi. Bundan berilgan sonning 3 ga bo‘linishi uchun uni tashkil etuvchi raqamlarining yig‘indisining 3 ga bo‘linishi zarur va yetarli degan tasdiq kelib chiqadi.
2). Shuningdek, agar 𝑚 = 9 bo‘lsa, u holda 10 Ξ 1(𝑚𝑜𝑑9)va 10𝑘 Ξ 1(𝑚𝑜𝑑9)
bo‘lgani uchun 𝑅9 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎𝑛 bo‘ladi. Bundan berilgan sonning 9
ga bo‘linishi uchun uni tashkil etuvchi raqamlarining yig‘indisining 9 ga bo‘linishi zarur va yetarli degan tasdiq kelib chiqadi.
3). Agar 𝑚 = 11 bo‘lsa, u holda 10 Ξ −1(𝑚𝑜𝑑11) va 10𝑘 Ξ (−1)𝑘(𝑚𝑜𝑑11) bo‘lgani uchun 𝑅11 = (𝑎0 + 𝑎2 + ⋯ ) − (𝑎1 + 𝑎3 + ⋯ ) bo‘ladi. Bundan berilgan sonning 11 ga bo‘linishi uchun uni tashkil etuvchi juft o‘rindagi raqamlari yig‘indisidan toq o‘rindagi raqamlarini yig`indisining ayirmasi 11 ga bo‘linishi zarur va yetarli degan tasdiq kelib chiqadi.
4). Agar 𝑚 = 7 bo‘lsa, u holda 100 Ξ 1(𝑚𝑜𝑑7), 10 Ξ 3(𝑚𝑜𝑑7), 102 Ξ
2(𝑚𝑜𝑑7), 103 Ξ −1(𝑚𝑜𝑑7),
104 Ξ −3(𝑚𝑜𝑑7), 105 Ξ −2(𝑚𝑜𝑑7), 106 Ξ 1(𝑚𝑜𝑑7) bo‘lgani uchun 𝑅7 = (𝑎0 + 3𝑎1 + 2𝑎2) − 𝑎3 − 3𝑎4 − 2𝑎5 + ⋯ bo‘ladi. Bu yerda endi ifoda biroz murakkab.
Endi 10 soni 𝑚 moduli bo‘yicha 𝛿 ko‘rsatkichga qarashli bo‘lgan holga to‘xtalamiz: bu holda 10ð Ξ 1(𝑚𝑜𝑑𝑚) bo‘lgani uchun 𝑟ð = 1. Shuning uchun ham
𝑟ð dan boshlab qoldiqlar takrorlanadi va 𝑅𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 · 𝑟1 + 𝑎2 · 𝑟2 + … + 𝑎ð−1 ·
𝑟ð−1 + 𝑎ð + 𝑎ð+1 · 𝑟1 + ⋯ bo‘ladi. 3,7,9,11 modullari bo‘yicha 10 soni mos ravishda 1, 6. 1, 2 ko‘rsatkichlarga tegishli bo‘lgani uchun bu modullar bo‘yicha qoldiqlar mos ravishda 𝑟1, 𝑟6, 𝑟1, 𝑟2 lardan boshlab takrorlanadi. Buni biz yuqoridagi 1)-4)- misollarda ko‘rdik.
Oddiy kasrni o’nlik kasrga aylantirishda hosil bo’ladigan kasrning davr uzunligini aniqlash. A. Ma‘lumki, maxrajida 2 va 5 dan boshqa sonlar qatnashgan
qisqarmas oddiy kasr 𝑎 ni o‘nlik kasrga aylantirsak, cheksiz davriy kasr hosil bo‘ladi.

Davrdagi raqamlar sonini aniqlash uchun avvalo qisqarmas oddiy kasr 𝑎
𝑏
maxrajida 2

va 5 sonlari qatnashmagan, ya‘ni (10, 𝑏) = 1 bo‘lgan holni qaraymiz. Bunda
(𝑎 < 𝑏) bo‘lgan holni ( −to‘g‘ri kasrni) qarash bilan chegaralanish mumkin.
𝑏
Tushunarliki, bunday kasrning surati 𝑎 soni 𝑏dan kichik va 𝑏 bilan o‘zaro tub bo‘lgan

{

𝜑(𝑏) ta quymatdan birini qabul qiladi. Oddiy kasrrni o`nlik kasrga aylantirishdagi singari ish tutib, m qadamdan keyin quyidagiga ega bo‘lamiz:

10𝑎 = 𝑏𝑞1 + 𝑟1,

10𝑟1 = 𝑏𝑞2 + 𝑟2,
10𝑟𝑚−1 = 𝑏𝑞𝑚 + 𝑟𝑚,
(1)

bu yerdagi barcha 𝑟i qoldiqlar 0 < 𝑟i < 𝑏 shartni qanoatlantiradi. Shuningdek,
𝑏 > 𝑎 bo‘lgani uchun 𝑞1 < 10; 𝑏 > 𝑟1 bo‘lgani uchun 𝑞2 < 10 va xokazo. Shunday

qilib, barcha 𝑞i lar raqamlardir. Misol uchun: = bo‘lsa, (1) quyidagicha

bo‘ladi: 10 · 5 = 13 · 3 + 11,

10 · 11 = 13 · 8 + 6,

10 · 6 = 13 · 4 + 8, 10 · 8 = 13 · 6 + 2, 10 · 2 = 13 · 1 + 7,
10 · 7 = 13 · 5 + 5 (1’)
lardan iborat bo‘ladi.
(1) da (10, 𝑏) = 1 va(𝑎, 𝑏) = 1 bo‘lgani uchun (10𝑎, 𝑏) = 1 bo‘ladi bundan esa (𝑟i, 𝑏) = 1 ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda 𝑟i lar 𝑏 moduli bo‘yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasiga tegishli bo‘ladi, ya‘ni ularning soni
𝜑(𝑏) tadan ko‘p bo‘la olmaydi. Shuning uchun ham ko‘pi bilan (𝑏) qadamdan keyin qoldiqdagi va ular bilan birga bo‘linmadagi raqamlar ham takrorlanadi. Bundan esa davrda (𝑏) tadan ko‘p raqam bo‘lmasligi kelib chiqadi.

Davrdagi raqamlar va davr haqida aniqroq ma‘lumotga ega bo‘lish uchun

{
(1) dagi tengliklarni 𝑏 moduli bo‘yicha qaraymiz:
10𝑎 Ξ 𝑟1(𝑚𝑜𝑑𝑏),
10𝑟1 Ξ 𝑟2(𝑚𝑜𝑑𝑏),
10𝑟𝑚−1 Ξ 𝑟(𝑚𝑜𝑑𝑏).

.
Xulosa

Tub modul bo’yicha yuqori darajali taqqoslamalar eng ko‘p o‘rganiladigan, eng ko‘p tatbiq qilinadigan va boshqa matematik fanlar: matematik tahlil, analitik geometriya kabi fanlar bilan ko‘p jihatdan bog‘liq bo‘lgan sohalaridan biridir.
Mening kurs ishim tub modul bo’yicha yuqori darajali taqqoslamalarni o'rganishga qaratilgan.
Ushbu kurs ishimda taqqoslash nazariyasining asoslari ko'rsatilgan. Ushbu kurs ishining vazifasi etarli nazariy va amaliy materiallarni o'z ichiga olgan o'quv qo'llanmasini yaratishdir. Mazkur kurs ishida tub modul bo’yicha yuqori darajali taqqoslamalar bilan bog‘liq tushunchalar, xossalar va teoremalar keltirilib yoritib berilgan.
Taqqoslash nazariyasi metodlari fan, texnika, iqtisodiyotning turli sohalarida keng qo'llaniladi. Ushbu algebra bo'limi matematiklar, fiziklar va boshqa mutaxassislarni universitetda o'qitishda muhim o'rin tutadi, lekin ko'pincha u yetarli darajada chuqur o'rganilmaydi.
Ushbu ishda nazariyaning asosiy nuqtalarigacha batafsil berilgan, ular ko'rib chiqilayotgan masalalarni chuqurroq anglashga imkon beradigan misollar bilan yoritilgan.
Kurs ishi materiali sonlar nazariyasining tegishli kursini o'rganishda ham, algebra bo'yicha maxsus kurslarda ham, ayniqsa, yoshlik yillarida sonlar nazariyasi kursi bo'lmagan mutaxassisliklar uchun ishlatilishi mumkin.
Yangicha fikrlaydigan, bozor munosabatlarida muvaffaqqiyatli xo‘jalik yuritadigan yuksak malakali, chuqur bilimli mutaxasislarni tayyorlash davr talabi bo‘lib qoldi.