Natural sonlar ustida arifmetik amallar Karslar. Oddiy, o’nli va davriy kasrlar

Mundarija

1. 
   Natural sonlar ustida arifmetik amallar
   
2. 
   Karslar. Oddiy, o’nli va davriy kasrlar
   
3. 
   Algebraik ifodalar
   
4. 
   Chiziqli tenglamalar
   
5. 
   Tenglamalar sistemasi
   

1-Mavzu Natural sonlar ustida arifmetik amallar

Raqam, natural son tushunchalari. Sanash natijalarini ifodalash uchun 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 belgilaridan foydalaniladi va ular raqamlar deb ataladi. Bu raqam lar o ‘nta. Shuning uchun bizning sanoq sistemamiz o'nlik sanoq sistemasi deyiladi.
Natural son tushunchasi matematikaning eng sodda, boshlang'ich tushunchalaridan biridir.
T a ’ r i f: natural son deb, sanashda ishlatiladigan yoki sanash natijasida kelib chiqadigan sonlarga aytiladi.
Natural sonlar to'plam i N harfi bilan belgilanadi va quyidagicha yoziladi: N = {1; 2; 3; . . .; «; n + 1; .. .}. Natural sonlar to'plam i cheksiz bo'lib, eng kichigi 1 va eng kattasi mavjud emas, chunki har qanday natural songa 1 qo'shilsa, u oldingisidan katta bo'ladi.
H ar qanday natural sonni yuqoridagi 10 ta raqam yordamida yozish mumkin. Masalan: 367; 1 013; 39 871; 137 997 803 va h.k.
1 dan 0 gacha bo'lgan natural sonlardir. Bu tenglik natural sonning o‘nning darajalaribo‘yicha yoyilmasi deyiladi. Masalan,
x = 437968 son kabi yoziladi.

Natural sonlar ustida amallar.

1. Natural sonlarni qo‘shish.
N atural sonlar yig'indisi yana natural son bo'ladi.
M asalan, 17 + 23 = 40; 29 + 62 = 91 va h.k. Umuman, a va b natural sonlar bo'lsa, u holda a + b = (1)
bo'ladi, bu yerda - natural son. (1) tenglikda a va b
qo‘shiluvchilar, esa yig ‘indi deyiladi. N atural sonlarni qo'shish quyidagi xossalarga ega:
1) O’rin almashtirish: a + b = b + a,
ya’ni qo'shiluvchilarning o'rinlari almashgani bilan yig'indining qiymati o ‘zgarmaydi.
M i s о 1: 17 + 32 = 32 + 17 = 49; 109 + 235 = 235 + 109 = 344.
2) Guruhlash; {a + b) + с = a + (b + c) tenglik o’rinli.
M i s o l : (15 + 48) + 22 = 15 + (48 + 22) = 85.
2. Natural sonlarni ayirish. Berilgan yig'indi va qo'shiluvchilardan biriga ko‘ra ikkinchi qo'shiluvchini topish amali natural sonlarni ayirish deyiladi. a va b natural sonlar uchun quyidagi tengliklar o'rinlidir, ya'ni
a - b = (2) bo'lsa, u holda a = b + (3) boladi.
(2 ) tenglikda a natural son kamayuvchi, b - ayriluvchi,
c esa ayirma deyiladi, bu yerda a son b sondan katta.
M i s о I: 45 - 30 = 15 dan 30 + 15 = 45; 123 - 85 = 38 dan 85 + 38 = 123 boladi.
Ayirish amali quyidagi xossalarga ega:
1) a - (b + c) = (a - b ) — c yoki a - (b + c) = (a - c) - b, bu yerda a>b + bo’lishi kerak.
M i s о 1: 148 -(1 6 + 34) = (1 4 8 - 1 6 )-3 4 = 132 - 34 = 98 yoki
(148 - 3 4 )- 16 = 1 1 4 - 16 = 98 bo’ladi.
2) (a + b) - с = ( a - c ) + b,
M i s o 1: (39 + 4 1 )-2 5 = (3 9 -2 5 )+ 41 = 14 + 41 = 55;
(18 + 5 6 )-4 3 = 18 + (5 6 - 4 3 )= 18 + 13 = 31.
3. Natural sonlarni ko'paytirish. O'zaro teng bo'lgan qo'shiluvchilar yigindisini topish amali ko'paytirish deyiladi va a +a + a +... + a = a■n (4)
n ta tenglik o'rinli bo'ladi.
M i s o l : 17 + 17 + 17 + 17 + 17 = 17-5 = 85.
Natural sonlarni ko'paytirish amali quyidagi xossalarga ega:
1) a ■ b = b ■ a (o'rin almashtirish).

Misol: 108 10 = 10 • 108 = 1080.

2)(a■b) ■ с = a ■ (b■c) (guruhlash).
M i s о 1: (15 • 6) • 20 = 15 (6 20) = 1800.
3) (a ± b) ■ с = ac ± be (ko'paytirishning qo‘shish va ayirishga nisbatan tarqatish (taqsimot) qonuni).
M i s o 1: l)( 14 + 7)- 5 = 14-5 + 7 -5 = 70 + 35 = 105;
2 )(3 2 - 18) - 10 = 32 1 0 -1 8 - 10 = 3 2 0 - 180 = 140.
4. Natural sonlarni boiish. Ikki ko‘paytuvchining ko'paytmasi va ko‘paytuvchilardan biriga ko‘ra ikkinchi k o ‘paytuvchini topish amali natural sonlarni bo ‘lish deyiladi. Agar a ■ x = b (bu yerda л: - noma’lum ko'paytiruvchi) bo’lsa, u holda x = b : a (5)
bo'ladi.
(5) tenglikda b boiinuvchi, a bo’luvchi, x bo’linma deyiladi.
M i s о 1: 40 • x = 120, bundan x = 120 : 40 = 3; x = 3 bo’ladi. ‘l
Biror sonni boshqa bir songa bo’lishdan chiqqan bo’linma butun son bo’lmasligi ham mumkin. Agar bo’linma butun son bo’lsa, bo’linuvchi son bo’luvchi songa qoldiqsiz bo'linadi, yoki qisqacha, bo'linadi deyiladi.
Masalan, 21 soni 7 ga qoldiqsiz boiinadi, chunki boiinm a 3 — butun son. Bunday hollarda boiinuvchi boiuvchining karralisi ham deyiladi.
Bo’linuvchi bo’luvchiga qoldiqsiz bo’linmagan holda qoldiqli bo'lish amali bajariladi. Qoldiqli bo‘lish - bu
Bo’luvchiga kо‘paytirganda bo’linuvchidan oshmaydigan son chiqadigan to'liqsiz bo'linma deb ataluvchi eng katta butun sonni topish demakdir. Bunda bo’linuvchidan bo’luvchi bilan to'liqsiz bo’linma
ko‘paytmasining ayirmasi qoldiq deb ataladi. Qoldiq hamma vaqt bo’luvchidan kichik bo’ladi.
Masalan, 23 soni 4 ga qoldiqsiz bo’linmaydi. Bu ikki son ustida qoldiqli boiish amalini bajarish mumkin. Bundan to’liqsiz bo’linma 5 ga teng. Qoldiq 23 - 4 • 5 = 3 ga teng.
Umuman, m va n (m>n) sonlar berilgan bo’lsa , m ni n ga
Bo’lganda to’liqsiz bo’linmaga, qoldiq r ga teng bo’lnsa,
m = n ■ k + r (6) tenglik o'rinlidir.

2-Mavzu Sonlarning bo'linish belgilari

Bir sonning ikkinchi songa qoldiqsiz bo'linish yoki bo'linmasligini aniqlash uchun quyidagi bo'linish belgilarini yodda saqlash zarur:
1. Barcha juft sonlar 2 ga qoldiqsiz bo'linadi.
2. R aqam larining yig'indisi 3 ga bo'linadigan sonlar 3 ga qoldiqsiz bo'linadi: raqamlarining yig'indisi 9 ga bo'linadigan sonlar 9 ga qoldiqsiz bo'linadi.
Misol: 1) 3 7 9 2 :3 = 1264 (raqamlar yig'indisi: 3 + 7
+ 9 + 2 = 21); 2) 938655 soni 3 ga ham. 9 ga ham bo'linadi, chunki
raqamlar yig'indisi: 9 + 3 + 8 + 6 + 5 + 5 = 36.
3. Oxirgi ikki raqamidan iborat son 4 ga bo'linadigan sonlar yoki oxirgi ikki raqami nollardan iborat sonlar 4 ga bo'linadi.
Misol: 116; 364; 1096; 1700; 197204 va h.k. sonlar 4 ga
qoldiqsiz bo'linadi, chunki ularning oxirgi ikki raqam idan iborat son 4 ga bo'linadi.
4. Oxirgi raqami 0 yoki 5 bilan tugagan barcha sonlar 5 ga qoldiqsiz bo'linadi.
M is o l: 140; 1075; 89395; 729800 va h.k. sonlar.
5. Oxirgi uchta raqami nollar yoki 8 ga bo'linadigan sondan liborat sonlar 8 ga qoldiqsiz bo'linadi.
M i s о 1: 1 000; 137 824; 3 278 064 va h.k. sonlar.
6. Ikkiga ham, uchga ham bo'linadigan sonlar 6 ga bo'linadi.
Misol: 378; 9 702; 48 684 va h.k. sonlar 6 ga qoldiqsiz
bo'linadi.
7. Oxiri nol bilan tugagan sonlar 10 ga bo'linadi.
8. Son 1 1 ga b o 'lin ish i uchun (o'ngdan chapga qarab
hisoblaganda) toq o'rinda turgan raqamlar yig'indisi bilan juft o'rinda turgan raqamlar yig'indisining ayirmasi nolga teng yoki 11 ga bo'linsa, u holda bunday sonlar 11 ga bo'linadi.
Misollar: 1) 103 785 soni 11 ga bo'linadi, chunki uning toq xonalaridagi raqamlari yig'indisi 1 + 3 + 8 = 12, juft xonalaridagi raqamlari yig'indisi 0 + 7 + 5 = 12.
2) 9 163 627 soni 11 ga bo'linadi, chunki uning toq xonalaridagi raqamlari yig'indisi 9 + 6 + 6 + 7 = 28, juft xonalaridagi raqamlari yig'indisi 1 + 3 + 2 = 6; bu ikki yig'indining ayirmasi 28 - 6 = 22, bu son 11 ga bo'linadi.