Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti

7. Cheksiz chuqur, bir o`lchovli potensial o`radagi zarracha harakati
Zarracha kengligi  bo`lgan cheksiz chuqur potensial o`rada harakatlanayotgan bo`lsin. O`raning devorlari cheksiz baland bo`lgani uchun zarracha undan tashqariga chiqa olmaydi. Uni koordinatasi 0  х   qiymatlarni olishi mumkin. Zarracha o`raning devorlariga urilib, undan qaytishi natijasida devorlar orasida to`g`ri chiziqli traektoriya bilan harakat qilishi mumkin. Zarrachaning bu o`radagi potensial energiyasi manfiy va cheksizdir (u=-). Agar elektron o`radan chiqqan taqdirda uning potensial energiyasi nol bo`lib, u erkin zarrachaga aylanadi. Shunday qilib l kenglikdagi, cheksiz chuqur potensial o`radagi zarrachaning potensial energiyasi uchun


U(x)=
shartni yozish mumkin. Bunday potensial o`raning grafigi 1-rasmda ko`rsatilgan. Agar bu o`radagi zarrachaning to`lqin xususiyatini hisobga olsak, unga de-Broyl turg`un to`lqini mos keladi. Bu de-Broyl turg`un to`lqini ikki uchi maxkamlangan to`rda hosil bo`luvchi to`lqinga o`xshatish mumkin. Ma`lumki, bunday to`r bitta chastota bilan emas, balki o`zini xususiy chastotasiga karrali bo`lgan bir necha chastotada tebranishi mumkin.
Ikki uchi mahkamlangan bunday to`rda turg`un to`lqin hosil bo`ladi. To`rning uzunligiga bir necha turg`un to`lqin to`g`ri keladi. Bunda to`rning uzunligiga doimo butun sondagi yarim to`lqin uzunligi joylashdi:
, n=1,2,3,... (7.1)
Potensial o`radagi elektron uchun tegishli bo`lgan de-Broyl to`lqini ham turg`un to`lqindan iborat bo`ladi.(8.1) formuladagi ni o`rniga to`lqin soni K ni qo`ysak, de-Broyl formulasini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin.
, n=1,2,3,... (7.2)
(7.2) formuladan ko`rinadiki, potensial o`radagi elektronning impulsi diskret qiymatlarni oladi yoki boshqacha aytganda u kvantlanadi.
Energiya bilan impuls orasidagi Е=р<sup>2</sup>/2m bog`lanishni hisobga olib elektronning energiyasi uchun
E=n² ,n=1,2,3,... (7.3)
formulani hosil qilamiz.
(7.3) formuladan ko`rinadiki, potensial o`radagi elektronning energiyasi ham kvantlanar ekan. Biz (7.3) formulani Shredinger formulasidan foydalanmay, o`radagi elektronga tegishli bo`lgan de-Broyl to`lqinini ikki uchi mahkamlangan to`rda hosil bo`luvchi turg`un to`lqinga o`xshatib keltirib chiqardik. (7.3) formulani Shredinger tenglamasi yordamida ham keltirib chiqarish mumkin.
Potensial o`rada elektron X o`qi yo`nalishida gorizontal chiziq bo`ylab harakatlanadi deb olganimiz uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(7.4)
O`rani devorlari cheksiz baland bo`lgani uchun zarracha o`radan tashqariga chiqa olmaydi. Shuning uchun zarrachani o`radan tashqarida bo`lish ehtimolligi nolga teng.
O`rani chetlarida x=0 va х= bo`lganda to`lqin funksiya ham nolga aylanadi. Ya`ni chegaraviy shart
(x)=()=0 (7.5)
ko`rinishda bo`ladi.
O`rani ichidagi zarracha uchun Shredinger tenglamasi

yoki (7.6)

kurinishda bo`ladi. Bu yerda к²= (7.7)

(7.7) ko`rinishdagi differentsial tenglamaning umumiy yechimi

 (х) = A _sinkx + В соskx
tenglamadan iborat bo`ladi. Agar (7.5) chegarviy shartdan
 (0)=0 bo`lishi uchun В=0 ekanligini hisobga olsak, (7.7) tenglamani echimi
 (х) = A_sinkx (7.8)
bo`ladi. х= ekanligini hisobga olsak, (7.8) formula
 () = A<sub>sin</sub>к
ko`rinishni oladi. Yuqoridagi (7.5) chegara shart, ya`ni
 () = A<sub>sin</sub>k=0 bo`lishi faqat k= n bo`lganda bajariladi. Demak,
(7.9) ekan.
(7.9) ni (7.7) ga qo`yib, zarrachaning energiyasi uchun
(7.10)
ifodani topamiz. Bu ifoda yuqorida boshqacha yo`l bilan topilgan (7.3) ifodaning o`zginasi. (7.10) formuladagi n, n =1,2,3,... bo`lgan butun sonlar qatorini qabul qiladi va uni kvant soni deb ataladi. Energiyaning kvantlangan qiymatini energiya sathi deb yuritiladi. Kvant soni energetik sathni tartibini n belgilaydi. Shunday qilib, potensial o`radagi zarracha faqat aniq bir energetik sathda, yoki boshqacha aytganda aniq bir n kvant holatida bo`lar ekan.
Energiyaning kvantlanishini grafik usulda tasvirlash qulay. Energiya kvantini qiymati yoki boshqacha aytganda (7.10) formula bilan topilgan energetik sathlar X o`qiga parallel bo`lgan gorizontal chiziqlardan iborat bo`ladi (2-rasm). Zarrachaning to`liq energiyasi E potensial va kinetik energiyaning yig`indisiga teng bo`ladi (E=U+E<sub>k</sub>). Yuqorida aytib o`tganimizdek cheksiz chuqur o`radagi zarrachaning potensial energiyasi U=- bo`ladi. Yuqoridagi energiyaning kvantlanish formulasi (7.10) zarrachaning kinetik energiyasiga tegishli. Ma`lumki, kinetik energiya doimo musbat. Ammo, o`radagi zarrachaning to`liq energiyasi manfiy bo`ladi. Chunki,
Е=-  +Е_к <0
Bunday bo`lishi bog`langan zarracha uchun o`z-o`zidan tushunarli. Faqat n= bo`lganda zarrachaning kinetik energiyasi cheksiz katta bo`lib, to`liq energiyasi nol bo`lishi mumkin. Bu holda zarracha potensial o`radan chiqadi va erkin zarrachaga aylanadi. (7.8) formulaga K ning (7.9) ifodasini qo`yamiz:
 (х) = Asin x
Bu tenglamadagi A ni ehtimollikning normallash shartidan topamiz.
Ya`ni ,
Yuqoridagi ifodani integrallab, undan A= ekanligini topamiz va _n (х) funksiya _n (х)= sin x (n=1, 2, 3, . . .) (7.11)


ko`rinishda bo`ladi. Bu funksiyani n=1,2,3 bo`lgandagi grafigi va unga mos energetik sathlar 3(a)-rasmda ko`rsatilgan. 3(b)-rasmda zarrachani o`raning qayerida topilish ehtimolligi zichligi -<sub>n</sub>(x)<sup>2</sup>, n=1, 2, 3 kvant holatlar uchun tasvirlangan. 3(b)-rasmdan ko`rinadiki, n=2 kvant holat uchun zarracha o`raning o`rtasida bo`lishi mumkin emas, ammo uni chap va o`ng tomonlarida bo`lish ehtimolligi bir xil. Zarrachalarning bunday xususiyati kvant mexanikasida zarrachaning trayektoriyasi degan tushunchaning ma`nosi yo`qligini bildiradi. (7.10) formulaga ko`ra ikki qo`shni energetik sathlar orasidagi energiya oralig`i quyidagicha aniqlanadi:
(7.12)
Agar o`raning kengligi katta bo`lsa, E juda kichik bo`ladi. Masalan, o`raning kengligi =10^-1m bo`lganda (metalldagi erkin elektronlar uchun) Е1,2∙10<sup>-35</sup> nJ=0,74∙10<sup>-16</sup> neV bo`ladi. Ya`ni bunday kichik qiymati metalldagi erkin elektronlar energiya sathlari juda zich joylashganligi, ya`ni energiya spektri uzluksiz ekanligini ko`rsatadi. Agar o`raning kengligi atom o`lchamiga yaqin bo`lsa (=10^-10m), E_n uchun E_n=1,2∙10^-17 nJ=0,74∙10² neV qiymat kelib chiqadi. Bu miqdor turli kvant holatda bo`lgan elektronlarning energiyalari bir-biridan farq qilishini ko`rsatadi. Shunday qilib, Shredinger tenglamasini chuqur potensial o`radagi zarrachaga tadbiqi zarracha energiyasining kvantlanishini ko`rsatadi. Klassik mexanikada esa zarracha energiyasiga hech qanday chegara qo`yilmaydi.
Bundan tashqari (7.10) formuladan potensial o`radagi zarrachaning eng kichik energiyasi n=1 bo`lgandagi

formula bilan aniqlanuvchi energiyadan kichik bo`la olmaydi. Zarrachaning eng kichik energiyasini noldan katta bo`lishi noaniqliklar munosabatidan kelib chiqadi.
Ma`lumki, kengligi  bo`lgan o`rada koordinatani noaniqligi x= bo`ladi. Bunda noaniqliklar munosabati (8.3)ga binoan zarrachalarning impulsi nol bo`la olmaydi. Impulsning noaniqligi ph/ bo`ladi. Impulsning bunday o`zgarishiga E<sub>min</sub>(р)<sup>2</sup>/(2m) /2m<sup>2</sup> kinetik energiya mos keladi. Boshqa qolgan sathlarning (n >1) energiyasi eng kichik energiyadan doimo katta bo`ladi.
(7.10) va (7.12) formulalardan kvant sonlarining katta qiymatlarida (n>>1) E_n/E_n  <<1 bo`lib, qo`shni energetik sathlar bir-biriga yaqinlashib, diskretlik yo`qoladi. Bu natija Borning moslik prinsipining (1923) xususiy xoli bo`lib, yuqori kvant sonlarida kvant mexanikasi qonunlari klassik fizika qonunlariga aylanishini ko`rsatadi. Hozirgi zamon fizikasida muhim rol o`ynayotgan moslik prinsipiga quyidagi ta`rifni berish mumkin:
Klassik fizikani rivojlantirish natijasida yaratilgan har qanday yangi nazariya klassik nazariyani to`liq inkor etmaydi, balki uni ham o`z ichiga olib, qo`llanish chegarasini ko`rsatib, ma`lum chegaraviy hollarda u eskisiga aylanadi.
Ma`lumki, maxsus nisbiylik nazariyasining kinematikasi va dinamikasi formulalari v<