O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim fan va innovatsiyalar vazirligi

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

1. Tekis kuch maydonining bajargan ishi. Oxy tekislikda moddiy figurani ifodalovchi yopiq D soha berilgan bo‘lsin va har bir   nuqtadagi massaga ta’sir qiluvchi   kuch berilgan bo‘lsin. Bu holda D sohada   kuch maydoni berilgan deyiladi.
Aytaylik, kuch maydoni ta’sirida moddiy nuqta D sohada joylashgan to‘g‘rilanuvchi BC chiziq bo‘ylab harakat qilsin. Moddiy nuqtani kuch maydoni ta’sirida B nuqtadan C nuqtaga o‘tguncha bajargan A ishini topish talab qilingan bo‘lsin (3-rasm).

3-rasm
Masalani hal qilish uchun BC yoyni   nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz. Bir xillik bo‘lishi uchun   deb belgilaylik.   nuqtaning koordinatalarini   orqali belgilab,   va  nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi bo‘yicha tutashtirib, BC chiziqqa ichki chizilgan siniq chiziqni hosil qilamiz.   yoyda ixtiyoriy   nuqta olib kuchning bu nuqtadagi qiymatini   orqali belgilaymiz.
to‘g‘ri chiziq kesmasida ta’sir etuvchi   kuch o‘zgarmas va u   deb olsak, u holda kuchning   to‘g‘ri chiziqli qismda bajargan ishi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
, (1)
bu yerda   vektorning uzunligi,   vektorning uzunligi,   esa   va   vektorlar orasidagi burchak.
kuchning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda   va   orqali belgilasak, u holda   va   tengliklarga ega bo‘lamiz, bu yerda   va   lar birlik vektorlar.
va   lar   vektorning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari bo‘lgani uchun, quyidagi tenglikni yozib olamiz:   
(1) tenglikning o‘ng tomoni   va   vektorlarning skalyar ko‘paytmasi bo‘lgani uchun   tenglikni hosil qilamiz.
Yuqoridagi farazimiz bo‘yicha moddiy nuqta   kuch ta’sirida   siniq chiziq bo‘ylab, B nuqtadan C nuqtaga o‘tganda bajargan ishi quyidagicha topiladi:
(2)
bo‘lakchalar qancha kichik bo‘lsa,   ning qiymati kuch maydonining bajargan ishi A ga yetarlicha yaqin bo‘ladi.   bo‘lakchalarning uzunliklarining eng kattasi   deb olaylik.
Agar (2) yig‘indi   da limitga ega bo‘lib, bu limit BC yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan   nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit kuch maydonining BC yoy bo‘ylab, B dan C ga o‘tganda bajargan ishi deb olinadi, ya’ni
.
Agar   yoki   bo‘lsa, u holda (2) formula o‘rniga mos ravishda quyidagi yug‘indilarga ega bo‘lamiz:
(3).
Ko‘pgina nazariy va tatbiqiy masalalarni yechish (2) va (3) yig‘indilarni limitlarini topishga keltiriladi. Shuning uchun bunday yig‘indilarning limitlarini topishni o‘rganish katta ahamiyatga ega.