O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

II.3)Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalasining qo’yilishi hamda ular yechimlarining yagonaligi
Elliptik tipdagi tenglamalar odatda ikki xil chekli va cheksiz sohalarda o'rganiladi. Har ikki holda ham qaralayotgan sohaning chegarasi chekli sondagi bo'lakli silliq chiziqlar (sfera)dan iborat, deb faraz qilinadi. Ayrim hollarda elliptik tenglamalar yarim chegaralangan sohalarda qaraladi. Bunday sohalarning chegarasi cheksiz bo'lib, unga yarim tekislik, yarim fazo misol bo'ladi.
Matematik fizika tenglamalari kursida elliptik tipdagi tenglamalar uchun ikki xil chegaraviy masalalar, ichki va tashqi masalalar o‘rganiladi. Agar noma‘lum funksiyani chekli sohadan topish talab qilinsa, bunday chegaraviy masalaga ichki masala, agar bu funksiyani cheksiz sohadan izlansa, u holda bunday chegaraviy masala tashqi masala deyiladi.
fazoda biror chekli sohani orqali belgilab, uning chegarasi bo‘lakli silliq sirtdan iborat bo‘lsin, deb faraz qilamiz. \ ni bilan belgilab olamiz, ya’ni = \
Dirixlening ichki masalasi. sohada garmonik = da uzluksiz va

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Dirixlening tashqi masalasi. sohada garmonik shunday funksiya
topilsinki, u da berilgan uzluksiz qiymatlarni qabul qilib, ya‘ni

|x| → ∞ da n > 2 bo‘lgan holda |x| dan sekin bo‘lmay nolga intilsin, n = 2 esa chekli limitga intilsin.
Neymanning ichki masalasi. sohada garmonik, = da o‘zining birinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lgan funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan hosilasi da berilgan funksiyaga teng bo’lsin,ya’ni

Bu yerda n− ga o’tkazilgan normal.
Neymanning tashqi masalasi. sohada garmonik shunday funksiya topilsinki, uning normal bo‘yicha olingan hosilasi da berilgan funksiyaga teng bo‘lsin, ya‘ni

hamda funksiyaning o‘zi cheksiz uzoqlashgan nuqtada: bo‘lgan holda nolga, n = 2 da esa chekli limitga intilsin.
Dirixlening ichki va tashqi masalalari bittadan ortiq yechimga ega bo‘lmaydi. Haqiqatdan ham, bu masalalar bir xil chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita va yechimlarga ega bo‘lsin. U holda funksiya ham garmonik bo‘ladi va shartni qanoatlantiradi. Avval ichki masalani ko‘ramiz. Maksimum prinsipiga ko‘ra barcha D sohada u=0 bo‘ladi, demak, = .
Endi tashqi masalani tekshiramiz. Avval n > 2 bo‘lsin. Shartga asosan u(x) funksiya sohada garmonik, shu bilan birga va x nuqta koordinata boshidan yetarli uzoqlikda joylashganda
(11)
tengsizlik o‘rinli bo‘lishi kerak. Bu Neymanning ichki masalasi yechimga ega bo‘lishi uchun zaruriy shartdir. Keyinchalik (1) ning yetarli shart ekanini ham ko’rsatamiz. Agar fazoning o’lchovi n>2 bo’lsa u holda Neymanning tashqi masalasi yagona yechimga ega bo’ladi. Bu fikrning to’g’riligiga ishonch hosil qilish uchun yuqorida kiritilgan chegaralari S va S dan iborat bo’lgan D sohaga Gauss-Ostrogradskiy formulasini qo’llaymiz: (12) S sfera bo’yicha olingan integralni baholaymiz.Yetarlicha kata bo’lgan R lar uchun, ya’ni da

munosabat o’rinli bo’ladi. U holda bo’lgani uchun (2) formuladagi S bo’yicha olingan integral nolga teng. Shunday qilib, da
Demak , Ammo da ekanligidan kelib chiqadi. Agar bo‘lsa, Neymanning tashqi masalasi o‘zgarmas son aniqligida topiladi. Bu holda ham xuddi yuqoridagidek tenglikka ega bo‘lamiz. Cheksiz uzoqlashgan nuqtada hol uchun garmonik funksiya chegaralangan bo‘lishidan, yuqoridagi fikrimizning to‘g‘riligiga ishonch hosil qilamiz.
Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari yechimining yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlaymiz.