O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti

Matematik nuqtai nazardan omiliy tahlilning maqsadi - omillarga mos ustunlari soni (m), parametrlarga (ko‘rsatkichlarga) mos satrlar sonidan (n) ancha kam bo‘lgan A[n*m], omillar vaznlari matritsasini - topishdan iborat bo‘lib, u tanlangan to‘plam uchun parametrlar orasidagi korrelyatsiyalar koeffitsiyentlarini zarur aniqlik bilan tiklash imkonini berishi kerak:

A * A`  R - D², (9.6)

A = A(n*m) = [a_jp] - n*m o‘lchamli omillar vaznlari matritsasi, mA` - transponirlangan m*n o‘lchamli A matritsa; D² - diagonalida d_j²-lar joylashgan “o‘ziga xosliklar” koeffitsiyentlarining diagonal matritsasi;

0 < d_j²  1, j = 1n.

Ushbu (9.6) ifodani omiliy tahlilning fundamental ifodasi (teoremasi, munosabati) deymiz. Uni, boshqacha, quyidagidek yozish mumkin: R(n*n)  A(n*m) * A`(m*n) + D²(n*n) (m

yoki

R^~ = A * A`  R - D² (9.7)

chapdagi matritsa “hisoblangan korrelyatsiya koeffitsiyentlari matritsasi”; u o‘ngdagi birlamchi matritsa R ni zarur aniqlikda tiklash imkonini beradi. Shuning uchun, u - “reduksiyalangan” (qayta tiklangan) korrelyatsiya koeffitsiyentlari matritsasi ham deyiladi. Bu matritsaning diagonalida 1 lar emas, alki undan kichikroq bo‘lgan sonlar, ya’ni har bir ko‘rsatkichning umumiylik koeffitsiyenti joylashgan:

h_j² = 1 - d² < 1. (9.8)

Agar n ta ko‘rsatkichlarning o‘zaro bog‘lanishlarini ifodalovchi simmetrik kvadrat korrelyatsiyalar matritsasi R(n*n) ni, o‘lchamlari undan ancha kichik bo‘lgan A matritsa yordamida “tiklash”, ya’ni (9.7), mumkin bo‘lsa, ishonch bilan aniq aytish mumkin, demak, bu “tasodifmas”, qandaydir “tendensiya” yoki “qonuniyat” ochilganidir. Bunday hollarda, masalan, quyidagi masaladagidek, m=2 ta omil o‘zida n=12 ta ko‘rsatkichlar o‘zgarishidagi qonuniyatlarni aks ettirib, hatto ular orasidagi bog‘lanishlarni ham deyarli “to‘liq ifodalaydi”.

Ma’lumki, agar R matritsani (9.7) tarzida ifodalash mumkin bo‘lsa, qo‘shimcha shartlar ko‘rsatilmasa, bu - juda ko‘p variantda mumkindir. Bunday A tipdagi matritsalarni bir-biridan “ortogonal o‘zgartirishlar” yordamida olish mumkin, masalan:

B = A * T, (9.12)

bundagi T matritsa m*m o‘lchamli ortogonal matritsadir, ya’ni u shunday matritsaki, uni, o‘zining transponirlangan matritsasiga ko‘paytmasi birlik matritsani beradi:

T*T` = T`*T = I(m*m). (9.13)

Agar, (9.12) dagi A yoki B (9.7) shartni qanoatlantirsa, unda ikkinchisi ham bu shartni qanoatlantiradi:

R = B*B` = A*T*T`*A` = A*I*A` = A* A` (9.14)

Haqiqatan ham, ko‘rinib turibdiki, agar o‘zaro ortogonal A yoki B matritsalardan biri (9.7) shartga javob bersa, ikkinchisi ham bu shartni qanoatlantiradi. Shuning uchun, odatda qo‘shimcha shart qo‘yiladi, masalan, A*A` matritsa (9.7) shartga mos, A`*A esa, diagonal bo‘lishi talab qilinadi. Ba’zida, a_ip koeffitsiyentlardan iborat qandaydir funksionalning, ekstremal qiymat qabul qilishi talab qilinadi. Masalan, shu koeffitsiyentlar kvadratlari yig‘indisining maksimum bo‘lishiga, mos koeffitsiyentlar kontrast, 0 va 1 ga yaqinroq bo‘lishiga harakat qilinadi (quyidagi varimaks-usulidagidek).

Omiliy tahlilda ko‘rsatkichlarning tabiiy o‘lchov birliklaridan (X_ji) “standartlashgan” o‘lchov birliklariga (z_ji) o‘tish qulaydir:

z_ji = (X_ji-X_j^o‘rt)/s_j = y_ji/s_j, (9.15)

X_ji - j parametrning i ob’ektdagi (davrdagi) “tabiiy o‘lchov birliklaridagi” qiymati;

z_ji - j parametrning i ob’ektdagi “standartlashgan” qiymati (j=1n, i=1N);

y_ji - parametrning “markazlashgan” (o‘rtachaga nisbatan) qiymati;

X_j^o‘rt - j parametrning o‘rtacha qiymati;

s_j - j parametrning o‘rtakvadratik qiymati (s_j² esa, X_j ning dispersiyasi).

Ikkita ko‘rsatkich (z_j va z_k; yoki X_j va X_k) orasidagi korrelyatsiya koeffitsiyentlari uchun formula:

r_jk = 1/N * ^N_i=1z_ji*z_ki, (9.16)

yoki matritsaviy ko‘rinishda