O„zbekiston respublikasi oliy va o„rta maxsus ta‟lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti

V-splaynlar – 
bu (m+1) dan tashqari barcha kichik sohalarda nolga teng 
bo‗lgan splayndir. Chiziqli (a), kvadratik (b) va kubik (v) splaylar quyidagicha 
aniqlash mumkin.
V-splayn o‗zgarmas qiymatli bo‗lganda i- kichik sohada quyidagi ifodalar 
yordamida beriladi.








.
,
0
;
,
1
)
(
1
0
,
холда
акс
x
x
x
x
N
i
i
i
(4) 
va m-darajali bo‗lganda [x
i
,x
i+m+1
] sohada
)
(
)
(
)
(
1
,
1
1
1
1
1
,
,
x
N
x
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
N
m
i
i
m
i
m
i
m
i
i
m
i
i
m
i















(5) 
(4) va (5) tenglamalardan past darajali V-splaynlar uchun ifodani aniq 
ko‗rinishini berish uchun foydalanish mumkin.
Chiziqli: 

---

65 






















.
,
)
(
2
1
1
2
2
1
1
1
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
N
(6) 
Kvadratik: 
;
)
)(
(
)
(
)
(
1
1
2
2
2
,









i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
N
;
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2
1
1
2
1
3
1
3
1
2
2
1
2
,
























i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
N
;
)
)(
(
)
(
)
(
3
2
2
3
1
3
2
3
2
,













i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
N
(7) 
Birlashtiruvchi nuqtalarning L uzunlikdagi segmentlarda tekis joylashtirilsa, 
keltirilgan ifodalar ancha soddalashadi. Bu holda qulaylik uchun x
i 
= iL deb va 
me‘yorlangan o‗zgaruvchi kiritiladi.
u=(x-x
tc
)/L=x/L-i.
(8) 
Natijada V-splaynlar ifodasi quyidagi ko‗rinishga keladi. 
Tekis chiziqli: 











2
1
2
1
0
)
)
((
1
,
u
агар
u
u
агар
u
L
u
i
U
i
(9) 
Tekis kvadratik: 
;
1
0
2
1
)
)
((
2
2
,




u
агар
u
L
u
i
U
i
;
2
1
2
3
4
3
)
)
((
2
2
,







 



u
агар
u
L
u
i
U
i
(10) 
;
3
2
)
3
(
2
1
)
)
((
2
2
,





u
агар
u
L
u
i
U
i
Agar birlashtiruvchi nuqtalar tekis taqsimlangan bo‗lsa, (5) tenglamadan 
bevosta foydalanib, kvadratik splayn formulasidan kubik splayn ifodasini olish 
mumkin. 
;
1
0
6
1
)
)
((
3
3
,




u
агар
u
L
u
i
U
i

---

66 
;
2
1
)
2
(
)
2
(
2
1
3
2
)
)
((
2
3
3
,
1








u
агар
u
u
L
u
i
U
;
3
2
)
2
(
)
2
(
2
1
3
2
)
)
((
2
3
3
,
1








u
агар
u
u
L
u
i
U
;
4
3
)
4
(
6
1
)
)
((
2
3
,





u
агар
u
L
u
i
U
i
(11) 
V-splaynlardan asos sifatida foydalanib, ixtiyoriy splayn ifodasini olamiz. 





1
,
).
(
)
(
k
m
i
m
i
i
x
N
a
x
p
(12) 
Bu tenglamada (k+m) ta parametr: a
m
, a
m+1
, … , a
k-1 
bor. P(x) splaynning har 
bir kichik sohadagi qiymati ko‗pi bilan (m+1) ta V-splayn yig‗indisi bilan aniqlanadi, 
ya‘ni lokallik xususiyatiga ega. (12) tenglamada ixtiyoriy koeffitsiyentini o‗zgartirish 
egri chiziq ko‗rinishini faqat (m+1) ta bo‗lakda o‗zgarishiga olib keladi. 
V-splaynlarni hisoblash xususiyatlari
. (5) tenglama V-splaynning x 
nuqtadagi qiymatini aniqlashning sodda jarayonidir. Har bir [x
i
, x
i+1
] segment uchun 
m darajali noldan farqli (m+1) ta splayn mos keladi. Bu segmentda 
)
(
,
x
N
m
i
ning 
qiymati 
)
(
1
,
x
N
m
i

gagina bog‗liq, chunki 
)
(
1
,
1
x
N
m
i


bu segmentda nolga teng. 
)
(
,
1
x
N
m
i

(0 

l 

m) esa 
)
(
,
x
N
m
l
i

ga ham, 
)
(
1
,
1
x
N
m
l
i



ga ham bog‗liq bo‗ladi. Bu munosabatlar 
4-chizmada ko‗rsatilgan. (splaynning har bir hadi yuqori satrdagi bir yoki ikki 
hadning me‘yorlangan yig‗indisini beradi, yo‗nalish ko‗rsatkichi hisoblash 
yo‗nalishini, 
vertikal 
chiziqlar 
(5) 
tenglamadagi 
birinchi 
ko‗paytuvchiga 
ko‗paytirishni bildiradi). m – darajli V-splaynning qiymatini aniqlash uchun 
chizmadagi oldingi (m-1) bosqichni o‗tish va ularning har birida V-splaynning 
)
(
,
x
N
j
m
j
i


va 
)
(
,
x
N
j
m
l
i


bo‗yicha qiymatlarini aniqlash lozim. Bu yerda j V-splayn 
darajasidir.
Interpolyatsion V-splaynlar 
Faraz qilaylik, (t
1
,y
1
), (t
2
,y
2
), … , (t
n
,y
n
) interpolyatsiya ko‗p hadi yoki splaynni 
qurish uchun berilgan nuqtalar bo‗lsin. Masalani yechishning turli yo‗llari ma‘lum. 
Ulardan biri har bir nuqtani splayn tuguni deb hisoblashdan iborat. Splayn (k+m) ta 
turg‗unlik darajasiga ega bo‗lishini hisobga olsak, kichikroq m larda (odatda, 
ko‗pincha shunday bo‗ladi) k = n – 1 deb t
1
, t
2
, … , t
n 
larni esa bog‗lovchi nuqtalar 

---

67 
deb qarash mumkin. N holi uchun izlanayotgan egri chiziq berilgan nuqtalarni 
tutashtiruvchi to‗g‗ri chiziqlar to‗plami bilan to‗liq aniqlanadi. m = 3 turg‗unlik 
darajalari soni m+2 ta bo‗ladi. Natijada egri chiziq shu nuqtalardan o‗tishni 
ta‘minlovchi cheklanishlar kiritilgandan so‗ng ikkita turg‗unlik darajasi 
foydalanilmaydi. Amaliy masalalar echilganda chet nuqtalardan foydalanilmaydi va 
ularda urinmalar berilmaydi.
Boshqacha yondoshishda birlashtiruvchi nuqtalar berilgan nuqtalar bilan 
galma-gal almashib keladi, ba‘zan k + m = n shart ham talab etilishi mumkin. Bu 
holni interpolyatsion splayn koeffitsiyentlarini aniqlash uchun V-splaynlar 
qo‗llanganda batafsilroq ko‗rib chiqaylik. Yuqorida aytilganidek, birlashtiruvchi 
nuqtalar soni k-1 ta bo‗lsin. U holda x
i 

t
i 

x
i+1 
uchun quyidagi tenglama o‗rinli.
a
i
N
i,m
(t
j
) + a
i-1
N
i-1,m
(t
j
) + … + a
i-j
N
i-j,j
(t
j
) = y
j
, 1 

 j 

 n.
(13) 
Jami shunday (k + m) o‗zgaruvchida n ta tenglama bo‗ladi. Har bir tenglama 
(m + 1) hadga ega bo‗ladi, ya‘ni unga mos matritsa kamida m ta pastki va m ta 
yuqorigi diognallar bilan aniqlanuvchi qatlamlarga bo‗lingan. Har bir nuqta (10) yoki 
(11) tenglama bilan noldan farqli V-splaynlarning faqat m tasining qiymalari orqali 
beriladi. Kvadratik splayn uchun parametrlar ifodasi quyidagicha bo‗ladi:
a
i
 + a
i-1 
= 2y
i
, i = 1, 2, …, n, 
Kubik splaynlar uchun esa ifoda quyidagicha bo‗ladi: 
a
i
 + 4a
i-1
+ a
i-2
 = 6y
i
, i = 1, 2, …, n
(14) 
Bu tenglamalar tizimiga yana chetki nuqtalarga qo‗yilgan cheklanishlar ham 
qo‗shiladi. Aks holda echim trivial bo‗ladi. Agar izlanayotgan egri chiziq davriy deb 
faraz qilinsa, chetki nuqtalarga qo‗shimcha cheklanishlar qo‗shish o‗rniga 
o‗zgaruvchilar soni a
0 
= a
n 
hisobiga kamayadi. Umumiy hol biroz murakkabroq. O‗z-
o‗zidan ravshanki, har bir segmentda berilgan nuqtalar soni (m+1) dan oshmasligi 
lozim. Aks holda tizimda ortiqchalik vujudga keladi. Agar berilgan va birlashtiruvchi 
nuqtalar aralashib ketsa, bu hol uchun faqatgina (m+1) ta noldan farqli dioganal 
bo‗lishi mumkin. Ular orasidagi (15) shart o‗rinli bo‗lishi muhimdir. Interpolyatsion 
ko‗p had tuzish masalasi faqat
N
jm
(t
j
) 

 0, j = 1,2, … ,n
. (15) 

---

68 
bo‗lsagina yagona echimga ega bo‗ladi. Buni shunday tushuntirish mumkin. 
Har bir oraliqda birlashtiruvchi nuqtalar orasida faqatgina (m+1) ta noldan farqli V-
splaynlar bor. (15) shart bajarilishi uchun bu oraliqda (m+1) tadan ortiq nuqta 
berilishi mumkin emas. Bu tizimda ortiqchalik vujudga kelmaslikni ta‘minlaydi. 
Yana 
N
jm
(t
j
) 
V-splayn (x
j
, x
j+m+1
) kichik sohada noldan farqli bo‗lishi va shu sababli
 t
j 
berilgan nuqtani o‗z ichiga olgan yagona kichik soha ekanligi ma‘lum. (12) 
tenglamadagi V-splaynlar soni (n = k + m) ga teng bo‗lganligi sababli qo‗shimcha 
cheklanish vujudga keladi. V-splaynlardan i-chisi faqat birinchi berilgan biror 
nuqtani o‗z ichiga oluvchi kichik sohadagina noldan farqli bo‗ladi. Xuddi shu gap 
oxirgi kichik soha uchun ham o‗rinlidir. Agar birinchi kichik soha berilgan ikki 
nuqtani o‗z ichiga olsa, ikkinchisi birorta ham nuqtani o‗z ichiga olmasligi mumkin. 
Aks holda ikkinchi kichik soha hech bo‗lmaganda berilgan bitta nuqtani o‗z ichiga 
oladi.