O„zbekiston respublikasi oliy va o„rta maxsus ta‟lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti

i 

0 
da 
(x
i 
+ 1, u
i 
- 1) 
diagonal nuqta haqiqiy aylana ichida joylashadi. 
Tushunarliki bunday hollarda yoki piksel 
(x
i
 + 1, u
i
) m
H 
yoki piksel 
(x
i
 + 1, u
i
 - 1) m
D 
larni tanlash kerak. Buning uchun birinchi navbatda 1 holatni qarab chiqamiz va 

---

79 
aylanadan diagonal va gorizontal yo‗nalishdagi piksellargacha bo‗lgan masofani 
kvadratlar farqini tekshiramiz: 

 = [(x
i
 + 1)
2
 + (y
y
)
2
 - R
2
] – [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2
]

 

 0 
bo‗lganda aylanadan diognal pikselgacha bo‗lgan masofa (
m
D
) dan katta. 
Teskarisi, agar 

 0 
bo‗lganda gorizontalgacha bo‗lgan masofa (
m
H
) katta.
Shunday qilib, 

 

 0 
bo‗lganda 
m
H 
ni 
(x
i
 + 1, u
i
) 
da tanlaymiz. 

 

 0 
bo‗lganda 
m
D 
ni 
(x
i
+ 1, u
i
- 1) 
da tanlaymiz. 

= 0 
bo‗lganda aylanadan ikki pikselgacha 
bo‗lgan masofa bir xil gorizontal qadamni tanlaymiz. 

 
miqdorini baholash uchun 
zarur bo‗lgan hisoblar sonini, agar birinchi holatni e‘tiborga olsak, kamaytirish 
mumkin. 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2

 0
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2

 0
Shunday qilib, diagonal piksel 
(x
i
+ 1, u
i
- 1) 
har doim aylana ichida yotadi, 
gorizontal piksel 
(x
i
+ 1, u
i
) 
esa aylana tashqarisida. Shunday qilib, 

 
ni quyidagi 
formula bo‗yicha hisoblash mumkin.

 = (x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2 
 + (x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
+ 1)
2
 - R
2
 
2y
i 
+ 1 
qo‗shish va ayirish yordamida 
(y
i
)
2 
qatnashchilarni to‗la kvadratgacha 
to‗ldirish quyidagini beradi.

 = 2 [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2 
] + 2y
i 
- 1
Kvadrat qavslar ichida aniqlanishi bo‗yicha 

i 
va uning qo‗yiluvchilari turadi. 

 = 2 (

i
 +y
i
)- 1
Ifodani sezilarli darajada qisqartiradi.
Ikkinchi holatni ko‗rib chiqamiz va bu yerda 
(x
i
+ 1, u
i
) 
gorizontal piksel 
tanlanishi zarurligini e‘tiborga olamiz. Shunday qilib u monoton kamayuvchi 
funksiya. 

 
komponentini tekshirish ko‗rsatadiki 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2

 0
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0

---

80 
Ikkinchi holatda gorizontal 
(x
i
+ 1, u
i
) 
va diagonal
(x
i
+ 1, u
i
- 1) 
piksellar 
aylana ichida yotadi. Shunday qilib 

 

0 
va xuddi 1 holat kabi shu kriteriyadan 
foydalanilganda 
(x
i
 + 1, u
i
) 
piksel tanlanadi.
Agar 

i 

0 
bo‗lsa, u holda 
(x
i
+ 1, u
i
- 1) 
diagonal nuqta aylana tashqarisida 
joylashadi. Bu holatlardan ko‗rinadiki, yoki piksel 
(x
i
 + 1, u
i
 - 1) m
D 
yoki 
(x
i
,y
i 
- 1) m
V 
piksellar tanlanishi shart. Aylanadan diagonal 
m
D 
va vertikal 
m
V 
piksellargacha 
masofani kvadratlari orasidagi farqni tekshirish orqali kriteriya tanlovini olish 
mumkin. 

1
 = [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2
] – [(x
i
)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2
]

 
1

 0 
bo‗lganda aylanadan vertikal pikselgacha 
(x
i
,y
i 
- 1) 
bo‗lgan masofa katta 
va 
(x
i
+ 1, u
i
- 1) m
D 
piksellarga diagonal qadamni tanlash kerak bo‗ladi. Teskari 
holatda 

1 

0 
aylanadan diagonal pikselgacha bo‗lgan masofa katta va 
(x
i
,y
i 
- 1) 
pikselga vertikal harakatni tanlash kerak. Shunday qilib,

1 

 0 
bo‗lganda 
(x
i
 + 1, u
i
 - 1) 
da 
m
D 
ni tanlaymiz. 

1 

 0 
bo‗lganda 
(x
i
,y
i
- 1) 
da 
m
V 
ni tanlaymiz. 

1
= 0 
bo‗lgan holatda masofalar teng va diagonal qadam tanlangan. 

1 
komponentlarini tekshirish ko‗rsatdiki 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0
(x
i
)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0
Shunday qilib, 3 holatda diagonal piksel 
(x
i
+ 1, u
i
- 1) 
aylanadan tashqarida 
joylashadi, vertikal piksel 
(x
i
,y
i 
- 1) 
aylana ichida yotadi. Bu 

1 
ni quyidagi 
ko‗rinishda yozish imkonini beradi.

1
 = (x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2 
+ (x
i
)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2
2x
i 
+ 1 
ni qo‗shish va ayirish yordamida 
(x
i
)
2 
qatnashchilarini to‗la 
kvadratgacha to‗ldirish quyidagini 

1
 = 2 [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2 
] + 2x
i
- 1

i 
aniqlovchidan foydalanish ifodani quyidagi ko‗rinishga keltiradi. 

1
 = 2 (

i
 - 1) - 1 

---

81 
4 holatga qarab 
(x
i
,y
i 
- 1) 
vertikal pikselni tanlash lozim ekanligini e‘tiborga 
olamiz, shunday ekan 
x 
funksiya o‗sganda 
u 
funksiya monoton kamayuvchi funksiya 
hisoblanadi. 
4 holat uchun 

1 
komponentlarini tekshirish quyidagini ko‗rsatadi 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2

 0
(x
i
)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2

 0
kelib chiqadiki ikala piksel ham aylanadan tashqarida joylashgan.
Shunday qilib, 

1 

0 
va 3 holat uchun qayta ishlangan kriteriyadan 
foydalanilganda 
m
V 
va to‗g‗ri tanlov amalga oshiriladi.
Diagonal piksel 
(x
i
+ 1, u
i
- 1) 
aylanada yotganda uchraydigan 5 holatni 
tekshirish qoldi.

 
komponentlarini tekshirish shuni ko‗rsatdiki 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2

 0
(x
i
+ 1)
2
 + (i
i
- 1)
2
 - R
2
 = 0
Shunday qilib, 

1 

0 
va 
(x
i
+ 1, u
i
- 1) 
diagonal piksel tanlanadi. Logik usul 
bilan 

 
komponentini baholaymiz.
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2
 = 0
(x
i
)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0
va 

1

 0 
ga 
(x
i
 + 1, u
i
 - 1) 
diagonal qadamni to‗g‗ri tanlash sharti hisoblanadi. 
Shunday qilib 

i
 = 0 
holat, 

i 

 0 
yoki 

i 

 0 
holatlar kabi bita kriteriyaga bo‗ysunadi.
Olingan natijalardan xulosa chiqaramiz: 

i

 0 

1

 0 
bo‗lganda 
(x
i
 + 1, u
i
)

 m
N 
pikselni tanlaymiz. 

1

 0 
bo‗lganda 
(x
i
+ 1, y
i
- 1)

 m
D 
pikselni tanlaymiz. 

i

 0 

1

 0 
bo‗lganda 
(x
i
 + 1, u
i
- 1)

 m
D 
pikselni tanlaymiz. 

1

 0 
bo‗lganda 
(x
i
, y
i
- 1)

 m
V 
pikselni tanlaymiz. 

i

 0
bo‗lganda 
(x
i
 + 1, u
i
- 1)

 m
o 
pikselni tanlaymiz.
 

---

82 
Birinchi navbatda 
(x
i
+ 1, u
i
) 
piksel uchun 
m
N 
gorizontal qadamni qarab 
chiqamiz. Buni pikselni 
(i + 1) 
yangi holatni deb belgilaymiz. Shunda yangi piksel 
koordinatasi va 

i 
qiymati quyidagiga teng: 
x
i + 1
 = x
i+ 1 
u
i + 1
 = u
i
 

i + 1
 = (x
i+ 1 
+ 1)
2
 + (u
i+ 1 
- 1)
2
- R
2
= (x
i+ 1
)
2
 + 2x
i+ 1 
+ 1 + u
i
- 1)
2
- R
2
=
 
= (x
i
 + 1)
2
 + (u
i
 - 1)
2
 - R
2
 + 2x
i+ 1 
- 1= 

i
 + 2x
i+ 1 
- 1. 
(x
i
 + 1, u
i 
- 1) 
pikselga 
m
D 
qadam uchun 

I 
qiymati va yangi piksel koordinatasi 
quyidagicha: 
x
i + 1
 = x
i
 + 1
 
u
i + 1
 = u
i
 - 1 

i + 1
 = 

i 
+ 2x
i + 1 
- 2u
i+ 1 
+ 2
Xuddi shunday 
(x
i
, y
i 
- 1) 
ga 
m
V 
qadam uchun ham 
x
i + 1
 = x
i 
u
i + 1
 = u
i
 - 1 

i + 1
 = 

i
- 2u
i+ 1 
+ 1.
Brezemxem algoritmini aylana uchun psevokodda qo‗llash pastda keltirilgan