O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti

Yirtqich-o‘lja modeli (Volterra modeli)
va -mos ravishda o`lja va yirtqichlar soni. O`ljalar sonining ortishini chegaralovchi yagona omil - ularga yirtqichlar tomonidan bosim berilishidir. Yirtqichlarning ko`payishi esa ov qilingan mahsulot (o`lja) soni bilan chegaralanadi. U holda yirtqichlar bo`lmaganida o`ljalar soni eksponentsial tarzda tezlik bilan ortishi, yirtqichlar soni esa o`ljalar bo`lmaganida - nisbiy tezlik bilan kamayishi kerak. va - o`ljalarning tabiiy ortishi va yirtqichlarning tabiiy o`lish koeffisientlari. - bitta yirtqich tomonidan birlik vaqt ichida iste‘mol qilingan o`ljalar soni (yoki biomassasi), jumladan shu biomassa yordamida olingan energiyaning qismi hazm qilishga, qolgani esa asosiy almashinuvni ushlab turishga sarf bo`ladi. U holda yirtqich-o`lja tizimini quyidagi ko`rinishda yozib olish mumkin:
,
odatda yirtqichning trofik funksiyasi deb ataladi, aniqrog`i odatda uni tajriba orqali aniqlanadi. Hozirgi paytda

Yirtqich trofik funksiyalarining xarakterli turlari

bu funksiya yuqorida tasvirlangan turlardan biriga taalluqli deb olinadi:
I – yirtqich baliqlarning ayrim turlariga va umurtqasizlarga xarakterli;
II – yirtqich - filtratorlarga (masalan, ko`pgina kichik baliqlarga);
III – murakkab hatti-harakatni namoyon qiluvchi umurtqali organizmlar uchun.
Agar o`ljalar himoya strategiyasini ishlab chiqara olsa, buni xarakterlovchi funksiya ham shu ko`rinishda bo`ladi. ning kichik qiymatlarida, hamma o`ljalar har doim och yuradigan, yeb to`ymas yirtqichning (tabiatdagi tabiiy hol) qarmog`iga tushishi tayin. Bunday holda trofik funksiyani o`ljalar sonining chiziqli funksiyasi, deb hisoblash mumkin (ya‘ni ). Bundan tashqari, deb faraz qilamiz.
U holda :
tizim– Volterra yirtqich- o`ljasining klassik modeli, unga ko`ra berilgan tizim quyidagi integralga ega:

tenglamaga ko`ra, unda o`zgaruvchilar ajraladi). Bu yerda
, , , .
Agar , -mos ravishda o`lja va yirtqichlar sonining boshlang`ich qiymatlari bo`lsa, u holda:
.
-tenglama esa tizimning davriy yechimlari fazali trayektoriyalariga to`g`ri keladigan
- esa ichma-ich joylashgan berk egri chiziqlar oilasini ta‘riflaydi.
Tebranishlar aplitudasi ning ortishi bilan va ham ortadi. minimal qiymatda bu egri chiziqlar koordinatali nuqtaga tiziladi.
, - ning statsionar yechimi ekanligi aniq.
Agar ma‘lum vaqt momentida , , bo`lib qolsa, u holda vaqtning keyingi momentlarida ham bu tengliklar saqlanadi. Bundan tashqari trivial yechim ham statsionar bo`ladi.
- ning boshqa statsionar yechimi yo`q. Volterra modeli haqiqatda kuzatilgan ko`pgina hodisalarni tushuntirib bersa-da, uning katta kamchiligi bor. Ya‘ni fazali koordinatalar kichik bo`lsa ham xatolikka uchrasa tizim bitta sikldan boshqasiga o`tadi.