Reja: Aniq integral tushunchasi

Aniq integral va uni hisoblash
Reja:

1. Aniq integral tushunchasi

2. Aniq integralning xossalari
3. N`yuton-Leybnis formulasi
4. Aniq integralni o`zgaruvchini almashtirish usuli bilan hisoblash
Adabiyotlar

1. Aniq integral tushunchasi

Ixtiyoriy funksiya biror oraliqda berilgan bo`lib, u uzluksiz bo`lsin. oraliqda ta ketma- ket kuqtalar olamiz. U holda, bu nuqtalar oraliqni ta qismga ajratadi. Bunda va deb olamiz. Hosil bo`lgan elementar kesmalarni quyidagicha ifodalaymiz: y

kesmada da
da va hokazo, da
nuqta olamiz. U holda, quyidagi 0 x
yig`indi o`rinli bo`ladi:
(1)
yoki (2)
belgilashlar kiritamiz. U holda (1) va (2) ni quyidagicha yozish mumkin:
yoki
. (3)
(3) ga funksiyaning oraliqdagi integral yig`indisi deyiladi.
Ta`rif: funksiyaning kesmadag aniq integrali deb integral yig`indining elementar kesmalardan eng kattasining uzunligi bo`lgandagi limitiga aytiladi va quyidagi ko`rinishda ifodalanadi:
(4)
Bunda - integralning quyi, - yuqori chegarasidir. Integralning o`qilishi: «Integral dan gacha, ef iks de iks».
Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda integral yig`indi chekli limitga ega bo`ladi, ya`ni qarralayotgan funksiya da integrallanuvchi bo`lib, integral yig`indining limiti oraliqning bo`linish usuliga va har bir elementar kesmadagi nuqtaning olinishiga bog`liq bo`lmaydi.
Misol. integralni ta`rif asosida hisoblang.
Yechilishi: Berilishiga ko`ra va oraliqni quyidagi nuqtalar yordamida ta teng elementar kesmalarga ajratamiz va berilgan funksiyaning ularga mos qiymatlarini topamiz:

U holda, integral yig`indining qo`shiluvchilari
Integral yig`indi quyidagicha bo`ladi:


U holda, Demak, kv. birl.
2. Aniq integralning xossalari
1- xossa. Har qanday o`zgarmas son uchun quyidagi tenglik o`rinli:
(1)
Isboti: funksiyaning dagi integral yig`indisini qaraydik:

Demak, (1) tenglik o`rinli ekan.
2- xossa. O`zgarmas sonni integral belgisi oldiga chiqarish mumkin:
(2)
Isboti: funusiyaning dagi integral yig`indisi uchun quyidagi o`rinlidir:

Shuning uchun
Demak, funksiya oraliqda integrallanuvchi bo`lib, (2) formula o`rinli ekan.
3-xossa. Agar va funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo`lsa, ularning algebraik yig`indisi ham shu oraliqda integrallanuvchi bo`ladi, ya`ni:
(3)
Isboti:

4-xossa. Agar aniq integralning chegaralari o`zaro almashtirilsa, uning ishorasi qarama –qarshiga o`zgaradi:
(4)
Isboti talabalarga havola qilinadi.
5-xossa. Chegaralari o`zaro teng, ya`ni bo`lgan aniq integral nolga teng:
(5)
Isboti talabalarga havola qilinadi.
6-xossa. Agar fnksiya da musbat bo`lib, bo`lsa, quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:
(6)
Isboti: oraliq ixtiyoriy elementar kesmalarga ajratilganda va nuqta da ixtiyoriy tanlanganda va bo`ladi. U holda,

Bundan,
7-xossa. Agar oraliqda bo`lganda bo`lsa,
. (7)
o`rinli bo`ladi.
Isboti: Shartga asosan U holda, uni da integrallaymiz:

3-xossaga asosan
8-xossa. Agar oraliqda bo`lib, va lar funksiyaning shu oraliqdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo`lsa, quyidagi o`rinli bo`ladi:
(8)
Isboti: Shartga asosan

Tengsizlikni oraliqda integrallaymiz:

U holda, 2- xossaga va 1- xossaga asosan

9-xossa. (O`rta qiymat haqidagi teorema). Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo`lsa, bu oraliqda shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun
(9)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isboti: oraliqda va lar funksiyaning eng kichik hamda eng katta qiymatlari bo`lsin. U holda, 8 –xossaga asosan

Bundan, . funksiya uzluksiz bo`lganligi sababli u oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda, dagi va nuqtalar orasida yotadi, ya`ni Bundan

Demak, yoki

3. N`yuton-Leybnis formulasi

Faraz qilaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo`lsin. U holda, funksiya shu oraliqda boshlang`ich funksiyaga ega bo`ladi. Boshlang`ich funksiyalaridan biri bo`lib, u quyidagidan iborat bo`lsin:
bunda (1)
Shu oraliqda funksiyaning boshqa boshlang`ichi ham mavjud bo`lsin. U holda, bu boshlang`ich funksiyalar bir – biridan biror o`zgarmas songa farq qilishi ma`lum, ya`ni
(2)
Agar bo`lsa, (1) tenglik hamda 5- xossaga asosan quyidagiga ega bo`lamiz:
(3)
(4)
(4) ni (2) ga qo`ysak
(5)
hosil bo`ladi. deb olsak
(6)
(6) formulaga Nyuton –Leybnis formulasi deyiladi.
ayirmani quyidagi ko`rinishlarda yozish qabul qilingan.
yoki
U holda, (6) formula bunday ifodalanadi:
(7)
Yuqori chegarasi o`zgaruvchidan iborat bo`lgan (5) aniq integralni hisoblashning Nyuton –Leybnis usuli quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(8)
Shuningdek, quyi chegarasi o`zgaruvchidan iborat bo`lgan aniq integral ifodasi esa quyidagicha bo`ladi:
(9)
aniq integralni hisoblashda quyidagi bosqich ishlari ketma – ket bajariladi:

1. 
   Quyidagi aniqmas integral topiladi:
   

2. 
   ning dagi qiymati topiladi, ya`ni
   
3. 
   ning dagi qiymati hisoblanadi, ya`ni
   
4. 
   ayirama topiladi.
   

1-misol. integralni hisoblang.
Yechilishi: Bunda va .

1. 
   Aniqmas integral ni hisoblaymiz:
   

2. 
   ni topamiz:
   

3. 
   ni topamiz:
   

4. 
   
   

Demak,

2-misol. Hisoblang: .

Yechilishi: Integralni hisoblashni yuqoridagi bosqichlar asosida, ya`ni (7) formulani qo`llash orqali bajaramiz:

3-misol. Integralni hisoblang:
Yechilishi: Aniq integralning 3- xossasiga asosan berilgan integralni ikki qismga ajratamiz va Nyuton –Leybnis formulasidan foydalanib, hisoblaymiz:

Mustaqil yechish uchun mashqlar.
№1. №7.
№2. №8.
№3. №9.
№4. №10.
№5. №11.
№6. №12.

O`rta qiymat haqidagi teorema

Teorema. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda, shu kesmada shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun
(1)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isboti: Faraz qilaylik, bo`lsin. U holda, funksiyaning berilgan kesmadagi eng katta qiymati va eng kichik qiymati bo`lsin, ya`ni
. (2)
da (2) tengsizlikni integrallaymiz:

Bundan, (3)
(3)ni ga hadma – had bo`lamiz:
. (4)
Berilgan funksiya da uzluksiz bo`lganligi uchun qo`yi va yuqori chegara oralig`idagi (ya`ni [ , ]) istalgan qiymatni qabul qiladi. U holda, da shunday nuqta mavjud bo`ladiki, bo`lishini ta`minlaydi. Bu esa (1) formuladan iborat. Teorema isbot bo`ldi.

4. Aniq integralni o`zgaruvchini almashtirish (o`rniga qo`yish) usuli bilan hisoblash

Aniqmas integralni o`zgaruvchini almashtirish usulida yechishdan ma`lumki, agar integrallash qoidalari, xossalari yoki formulalar yordamida integrallash qiyinlik tug`dirsa integral ostidagi funksiyaga yangi o`zgaruvchi kiritish lozim. Aniq integralni hisoblashda ham shu usul qo`llaniladi.
ni o`zgaruvchini almashtirish usulida hisoblash talab qilinsin. Yangi o`zgaruvchini kiritaylik. U holda, funksiya kesmada uzluksiz va differensiallanuvchi bo`lsin. Agarda o`zgaruvchi kesmada o`zgarganda o`zgaruvchi da o`zgarsa, ya`ni hamda murakkab funksiya kesmada uzluksiz va aniqlangan bo`lsa, quyidagi formula o`rinli bo`ladi:
(1)
(1) formulaga o`zgaruvchini almashtirish usulida integral formulasi deyiladi.
funksiya ning boshlang`ichi bo`lsin. U holda, funksiya ning boshlang`ichi bo`ladi. Shuning uchun

Demak, (1) formula hosil bo`ldi.
Yuqoridagilarni umumlashtirib, o`zgaruvchini almashtirish usulida integrallashni quyidagi ketma – ketlikda bajarish tavsiya qilinadi:

1. 
   Imkoni bo`lsa, integral ostida berilgan ifodani soddalashtirish.
   
2. 
   Yangi o`zgaruvchini kiritish ( ).
   
3. 
   Integralning yangi chegaralarini aniqlash.
   
4. 
   Hosil bo`lgan integralni hisoblash.
   

1. 
   misol. ni hisoblang.
   

Yechilishi: almashtirishni bajaramiz. Uning ikkala tomonini differensiallaymiz:
Bundan
Integralning yangi chegaralarini topamiz. Buning uchun dagi ning o`rniga avval integralning yuqori chegarasi 3 ni, keyin esa quyi chegarasi 2 ni qo`yib hisoblaymiz:

Demak, yangi chegaralar va ekan. U holda,

2. 
   misol. Integralni hisoblang: .
   

Yechilishi: Integral ostidagi ni o`zgaruvchi bilan almashtiramiz. U holda ning differensiali quyidagicha bo`ladi: Bundan, Endi yangi chegaralarni topamiz. Buning uchun dagi ning o`rniga yuqori chegara 2 ni, keyin esa quyi chegara 0 ni quyib hisoblaymiz:
da da
Demak, yangi integralning yuqori chegarasi , quyi chegarsi ga teng ekan. Yuqorida aytilganlarning analitik ifodasini keltiramiz:


3-misol. Integralni hisoblang:
Yechilishi: Bunda integral ostidagi ifodadagi ni bilan almashtiramiz:

U holda, hosil bo`ladi. Endi integralning yangi chegaralarini topamiz:
da
da
Demak,




4-misol. Integralni hisoblang:
Yechilishi: Integral ostidagi ifodani ikkita kasrga ajratib, integrallar yig`indisiga keltiramiz va ularni alohida – alohida hisoblaymiz, ya`ni:
.
Birinchi integralda ikkinchisida esa almashtirishni bajaramiz. U holda, birinchi integralning yangi chegaralari: ikkinchisiniki esa bo`ladi. Integralni hisoblashning analitik ifodasi quyidagicha:




Mustaqil yechish uchun mashqlar
Quyidagi integrallarni o`zgaruvchini almashtirish usuli yordamida hisoblang:
№13. . №21. .
№14. . №22. .
№15. . №23. .
№16. . №24. .
№17. . №25. .
№18. . №26. .
№19. . №27. .
№20. . №28. .

5. Aniq integralni bo`laklab integrallash

va funksiyalar berilgan bo`lib, ular kesmada uzluksiz hosillalar ( va ) ga ega bo`lsin. U holda, bizga ma`lum bo`lgan
(1)
tenglikni kesmada integrallaymiz:
. (2)
(2)ni quyidagi ko`rinishda ham ifodalash mumkin:
(3)
(3)ning chap tomonini quyidagicha yozish mumkin:
. (4)
U holda (3):
(5)
yoki (6)
hosil bo`ladi. Bu formulaga aniq integralni bo`laklab integrallash formulasi deyiladi.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechilishi: Berilgan aniq integralni bo`laklab integrallash usulida yechish uchun
va
deb belgilaymiz. U holda,
va
bo`ladi. Bularni (6)ga qo`yamiz:


2-misol. Hisoblang:
Yechilishi: (6) formulani qo`llaymiz:


3-misol. Hisoblang:
Yechilishi:

4-misol. Hisoblang:
Yechilishi: Belgilashlar kiritamiz, so`ngra (6) formulani qo`llaymiz:



Mustaqil yechish uchun mashqlar
№29. . №33. .
№30. . №34. .
№31. . №35. .
№32. . №36. .

Adabiyotlar

1. 
   Abdalimov V., Solixov Sh. Oliy matematika qisqa kursi.- Toshkent: O`qituvchi, 1981.
   
2. 
   Bogomolov N.V. Matematikadan amaliy mashg`ulotlar. – Toshkent: O`qituvchi, 1984.
   
3. 
   Vigodskiy M.Ya. Spravochnik po vыsshey matematike.-Moskva: Nauka, 1977.
   
4. 
   Glagolev N.S. va boshqalar. Matematika, III qism.-Toshkent: O`qituvchi, 1947.
   
5. 
   Kachenovskiy M.I. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. 2-qism. –Toshkent: O`qituvchi, 1982.