Reja: Tekislikda t

aoe = a (neytral element)
3. Ixtiyoriy a G element uchun shunday a¹ element mavjudki, ular uchun:
aoa' = e.
Algebra kursida neytral elementning yagonaligi isbotlanadi.
Geometriyada binar munosabat o’rnida ko’paytma yoki kompozitsiya olinadi va ab ko’rinishda yoziladi. Neytral element sifatida e olinib, uni birlik element deb yuritiladi. Simmetrik elementni almashtirishda teskari element deyiladi. Masalan, a elementga teskari element a^-1 kabi belgilanadi.
G almashtirishlar to’plami gruppa tashkil qilishi uchun 2,3 aksiomalarning bajarilishi etarli birinchi shart akslantirishlar uchun teorema sifatida isbotlangan.
6-ta’rif. Agar G to’plamdan olingan ixtiyoriy ikki f₁,f₂ almashtirishlari uchun:
1) f₁ va f₂ almashtirishlar ko’paytmasi f₂,f₁G bo’lsa,
2) har bir fG almashtirishga teskari f^-1 almashtirish ham G ga tegishli bo’lsa, u holda G to’plamni almashtirishlar gruppasi deyiladi.
10-misol. Tekislikdagi barcha parallel ko’chirishlar to’plami P bo’lsin, f₁,f₂P. f₁ almashtirish vektor qadar parallel ko’chirish, f₂ almashtirish vektor qadar parallel ko’chirish bo’lsin, tekislikning ixtiyoriy M nuqtasini f₁(M)=M’ nuqtaga,
f₂(M^’) =M" nuqtaga o’tkazadi (56-chizma). f₁, f₂ almashtirishlar ko’paytmasi f=f₂f₁, f(M)=M" nuqtaga o’tkazadi.
Vektorlarni qo’shish qoidasiga ko’ra + = ya’ni
=
f kompozitsiya vektor qadar parallel ko’chirishdan iborat bo’ladi.
E ndi f₁ parallel ko’chirishga teskari almashtirishni bajaraylik. f₁ almashtirish vektor qadar parallel ko’chirish bo’lgani uchun unga teskari almashtirish vektor qadar parallel ko’chirishdir.
Shunday qilib,
1) f₁,f₂Pf₂· f₁P, 2) f₁P f^-1P
Demak P to’plam gruppa tashkil qiladi.
Endi G almashtirishlar to’plami H esa G to’plamning qismiy to’plami bo’lsin.
6-ta’rif. Agar 1) H ning ixtiyoriy ikkita almashtirishlarining ko’paytmasi H ga tegishli. 2) H ning har bir almashtirishiga teskari almashtirish H ga tegishli bo’lsa, H to’plam gruppa tashkil qiladi. Bu gruppa G gruppaning qism gruppasi deyiladi

1^ Canuto, C., Tabacco, A. Mathematical Analysis I, 31-38, mazmun – mohiyatidan foydalanildi

2^ Canuto, C., Tabacco, A. Mathematical Analysis I, 37-38, mazmun – mohiyatidan foydalanildi

3^ Canuto, C., Tabacco, A. Mathematical Analysis I, 37-38, mazmun – mohiyatidan foydalanildi