Rozdělení rychlostí molekul plynu

Molekulová fyzika a termika

Rozdělení rychlostí molekul plynu

Text i obrázky k tématu Rozdělení rychlostí molekul plynu ve skriptech jsou ilustrací látky probírané v učebnici: K.Bartuška, E.Svoboda: „Fyzika pro gymnázia, Molekulová fyzika a termika“, Prométheus s.r.o., Praha 2002.

Podle pokusu popsaného v učebnici můžeme sestavit tabulku relativních četností ΔN/N rychlostí molekul v intervalu v, v +Δva vykreslit histogram rozdělení f = (1/Δv).(ΔN/N) molekul podle jejich rychlostí v při dané teplotě, které jsou také uvedeny v učebnici.

Teoreticky odvodil toto rozdělení Maxwell ve tvaru (viz. např. Z. Horák a kol.: “Technická fyzika“, SNTL Praha, 1961):
f(v) = . v².v_p^-3. exp(v_p²/v²) , (1)
užijeme-li označení veličin podle učebnice. V (1) označuje v_p nejpravděpodobnější rychlost molekul (tj. rychlost, při které závislost f(v) dosahuje maxima). v_p závisí na teplotě T ve ^oK podle vzorce

v_p = , (2)

kde m je hmotnost molekuly daného plynu a k = 1,38044.10^-23 J.^oK^-1 je Boltzmannova konstanta. Uvažujeme-li M = 32 kg hmotnost kilomolu kyslíku a N = 6,02486.10²⁶ počet molekul kyslíku v kilomolu, pak

m = 5,31 . 10^-26 kg .

Podle (2) pak platí pro kyslík

v_p 22,8. (3)

a můžeme vykreslit závislost (1) rozdělení rychlostí molekul kyslíku, které podle (3) závisí na jeho teplotě.

Obrázky 1a, 1b, 2, 3

Na obrázku vytvořeném v Excelu můžeme na posuvníku teplotu T měnit v intervalu 270, 580 ^oKa sledovat, jak při vyšších teplotách se rozdělení “přesouvá” do oblasti vyšších rychlostí (obr. 1a,1b), přičemž také hodnota v_p ve shodě s (3) roste.

Maxwellova křivka rozdělení rychlostí má statistický charakter, tj. nemá např. fyzikální smysl se ptát, kolik molekul má přesně určitou rychlost (Je to podobné, jako bychom se ptali, kolik žáků ve třídě nebo ve škole má přesně 15 let). Takový soubor je v obou případech prázdný. Má však smysl se ptát, kolik molekul má rychlost v určitém konečném intervalu v, v +Δv a tyto počty znázornit v histogramu.

Histogramy obdobné těm na obrázcích (ovšem zákonitě ovlivněné náhodnými a případně i systematickými chybami) bychom dostali také podle pokusu uvedeného v učebnici. Podle popisu pokusu je také zřejmé, že více než histogramy bychom z měření získat nemohli v tom smyslu, že bychom nemohli libovolně zmenšovat velikost intervalu v, v +Δv měřených rychlostí a Maxwellovo spojité rozdělení f(v) mohlo být odvozeno jen z teoretických úvah.

Pro ukázky na obrázcích byly tabulky pro histogramy sestaveny z Maxwellovy křivky f(v) sečtením hodnot f = (1/Δv).(ΔN/N) a průměrováním součtů vždy přes intervaly rychlostí v, v+Δv, které jsme pro vynesení histogramu zvolili.

Na obrázku 2 jsou histogramy sestavené pro různý krok Δv (tj. pro Δv = 100 m.s^-1 a Δv = 50 m.s^-1) a na obr.3 jsou histogramy sestavené pro různý způsob průměrování (tj. pro ukázku toho, že při dostatečně velkém kroku Δv nemá započtení nebo nezapočtení krajních hodnot intervalu v, v+Δv příliš vliv na vzhled histogramu).