Shartlarni qanoatlantiradi, esa 19) ning, sohadagi yozilishi bo’lib

bo’lib, , (3.31)
shartlarni qanoatlantiradi, esa (3.19) ning , sohadagi yozilishi bo’lib,
da (3.32)
da
da (3.19) parametrning funksiyalar yozilishini keltiramiz :
(3.33)
va (3.19) tengsizlik uchun Grin funksiyasini yarim fazo kiritamiz:
(3.34)

munosabat bilan aniqlangan funksiya (3.19) (3.31) ning yechimi bo’lishi ravshan.
Bundan tashqari da intiladi va bo’yicha chekli to’plamlarda teng bo’ladi. Maksimum prinsipini qo’llab, ekanligiga erishamiz.
Bundan ,
(3.36)
(3.36) ning o’ng tomonining 1-hadi kattalik bilan cheklangan, 3-hadi funksiya bilan cheklangan , bu yerda . Nihoyat, (3.36) ning o’ng tomoni 2-hadida integrallash tartibini almashtirib , u ga tengligini topamiz. Barchasini umumlashtirib, biz
(3.37)
ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, (3.35) ga o’xshab ni Grin funksiyasi jihatdan aniqlaymiz va keyin ni topamiz. ta’rifidan foydalanib, bir qancha hisoblashlardan keyin biz
(3.38)
(3.38) va (3.37) bog’lab va natijani (3.28) ga qo’yib,
(3.39), bunda .
Shunga o’xshash (3.40) ga ega bo’lamiz , bu yerda .
(3.24) ni integrallab va (3.27) va (3.35) , (3.40) bo’yicha markazidan foydalanib,
(3.41)
ga ega bo’lamiz.
Biz ni (3.41) ning o’ng tomonidan yo’qotish uchun,

Bundan (3.42) kelib chiqadi.
(3.39) , (3.40) dan larni (3.42) ga qo’yib
(3.43) ni topamiz.
Agar lar yetarlicha kerak bo’lsa, u holda (3.43) dan baxoni quyidagicha topamiz:
(3.44) , bu yerda A ga bog’liq emas. (3.44) ni (3.41) ga qo’yib, biz asimtotik formulaga kelamiz:
(3.45) . Bu yerda ga bo’yicha bir xil chegaralangan,
Shunday qilib, xususiy holda (3.46) . Isbotlandi.
Teorema – 4. Agar funksiyalar taxminlarni qanoatlantirsa, u holda (3.45) , (3.46) asimtotik formulalarni qanoatlantiradi.
(3.11) - (3.16) sistemani xususiy holda qaraymiz, qaysiki
(3.47)
Biz bu yerda (3.48) ko’rinishidagi aniq yechimni topishga urinamiz.
Natijada (3.45) ,
ga ega bo’lamiz , bu yerda lar
(3.50)
(3.51 )

tengliklarni qanoatlantiradi.

Yetarlicha kichik uchun biz taxminiy yechimni topamiz :

(3.52) yechim (3.46) asimptotik funksiyalarga mos keladi.
4. Stefan masalasini yechimining boshqa bir usuli
Oldingi paragriflarda biz Stefan masalasini uchun chiziqsiz integral tenglamalariga keltirish bilan yechdik. Bu uchun erkin , chegarali masalalarning boshqa turlariga issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasidan boshqa umumiyroq tenglamalarga , aynan yetarli deyarli silliq koeffitsiyentli

parabolik tenglamalarda qo’llash mumkin .
Biroq , bu usul ni fundamental yechim orqali ifodalashni talab qiladi , uning qo’llanishini chiziqli parabolik tenglamalar bilan chegaralanadi.
Boshqa cheklov “Agar bo’lsa, u holda uchun integral tenglama da integrallanmaydigan o’ziga xoslikka ega bo’ladi” degan mazmunni o’z ichiga oladi. Buni ba’zan dastlabki masalaning bo’lgan holdagi masalaga yaqinlashishi orqali chetlab o’tishi mumkin.
Bu paragrafda biz Stefan masalasi yechishning boshqa bir usulini ko’ramiz. U chiziqsiz parobolik tenglama bo’lsa va bo’lsa qo’llaniladi. Uning qo’llanilishi chegaraviy sharti (qo’zg’almaschegarda) jihatidan, ya’ni (2.14) ko’rinishidagi shartlari bilan beriladi.
Bu usulni Stefan masalasi sifatida bayon qilamiz:
, , da (4.1)
, da (4.2)
, va da (4.3)
, da (4.4)
(4.1) ni integrallab va (4.2) – (4.4) lardan foydalanib biz
(4.5)
ga ega bo’lamiz, bu yerda
.