Shtols teoremasi va uning tatbiqlari

SHTOLS TEOREMASI VA UNING TATBIQLARI.
Teorema(Shtols). Bizga ikkita (a_n)_n≥1 va (b_n)_n≥1 ketma-ketliklar berilgan bo’lsin:

1. 
   (b_n)_n≥1 ketma-ketlik qat’iy o’suvchi va
   

bo’lsin;

2. 
   Quyidagi limit mavjud bo’lsin
   

U holda quyidagi ketma-ketlik yaqinlashuvchi va

uning limiti ga teng, ya’ni

Isbot. Teorema shartida {b_n} ketma-ketlik qat’iy o’suvchi va limiti ∞ ga teng demak ketma-ketligimiz biror joydan(n=n₀ chi hadidan boshlab) musbat qiymat qabul qilib boshlaydi, va

limit mavjud.
berilganda ham m

_{bo’ladi. Bundan quyidagini yozib olamiz}

Endi n ni k bilan, k+1 bilan, k+2 bilan va hokazo n-1 bilan almashtirib yozamiz

Bu ifodalarni qo’shib yuborsak

Bu ifodani b_n ga bo’lamiz

bilamizki

_{yuqoridagi ko’ra natural son mavjudki barcha}

Endi p=max{m,p} deb olsak natural sonlar uchun yuqoridagi ikkita tengsizligimiz bir vaqtda bajariladi.Quyidagiga egamiz





ketlik limit ta’rifidan

ketma-ketlik yaqinlashuvchi va limiti ga teng.
Teorema to’liq isbotlandi.
Endi teoremani olimpiada misollariga tatbiq etamiz!
1-misol( OMOUS-2023 ). Bizga {a_n­} ketma-ketlik berilgan bo’lib a₀=2023


Ixtiyoriy natural son uchun o’rinli bo’lsa, quyida ketma-ketlikning
Limiti mavjudligini isbotlang va limitini toping:

Yechilishi: Bilamizki ln(x)0 uchun to’g’ri.
bundan quyidagini topamiz

Demak {a_n} ketma-ketlik o’suvchi va barcha hadlari musbat.
Monoton ketma-ketliklarning limiti haqidagi teoremaga ko’ra
{a_n} ketma-ketlik har doim limitga ega( chekli yoki cheksiz).
Faraz qilaylik {a_n} ketma-ketlikning limiti chekli bo’lsin u holda


Desak

Kelib chiqadi. Bundan {a_n} ketma-ketlik limiti chekli emasligi kelib chiqadi( chunki A=ln(A) tenglik hech bir chekli A>0 lar uchun o’rinli emas). Demak
.
Endi quyidagi ketma-ketlikni qaraylik,

Bu ketma-ketlikda maxrajdagi ketma-ketlik qat’iy o’suvchi va limiti cheksizga teng ekanligidan Shtols teoremasini qo’llab

Ketma-ketlik yaqinlashuvchi va limit 0,5 ekanini topamiz.
2-Misol. Agar {(x_n)⁴ketma ketlik quyidagicha aniqlangan bo’lib,n≥0 da
(1)
X₀ (0, bo’lsa, quyidagi limitni hisoblang:
(2)
Yechilishi: Agar 0
Ekanligini ya’ni {x_n} ketma ketlik kamayuvchu va quyidan chegaralangan ekanligini topamiz.Demak {x_n} ketma ketlik yaqinlashuvchi va uning limitini a desak (1) ifodadan limitga o’tib quyidagini topamiz

Endi { sin(x_n)} ketma –ketlik Shtols teoremasini barcha shartlarini qanoatlantirishini e’tiborga olib (2) limitni hisoblaymiz







^Demak