Teskari matritsa. Teskari matritsani hisoblash usullari

---

Teskari matritsa. Teskari matritsani hisoblash usullari
Maxsud Tulqin o‘g’li Usmonov 
[e-mail] 
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Qarshi filiali 
Annotatsiya:
Ushbu maqolada teskari matritsa, teskari matritsani hisoblash 
usullari to’g’risida ma’lumot berilgan. 
Kalit so’zlar:
matritsa, qoʻshma matritsa, teskari matritsa, xos va xosmas 
matritsalar, teskari matritsani hisoblash usullari. 
 
Teskari matrix. Methods for calculating the inverse matrix 
Mahsud Tulkin oglu Usmanov 
[e-mail] 
Karshi branch of Tashkent University of Information Technologies 
Abstract:
This article provides information on the inverse matrix, methods for 
calculating the inverse matrix. 
Keywords:
matrix, composite matrix, inverse matrix, eigen and non-eigen 
matrices, inverse matrix calculation methods. 
 
1.Qoʻshma matritsa tushunchasi. 
1-ta’rif.
A
kvadrat matritsaning har bir 
ik
a
elementini unga mos algebraik 
toʻldiruvchisi bilan almashtirish natijasida hosil qilingan matritsa ustida 
transponirlash amalini bajarishdan hosil boʻlgan 
A
matritsa berilgan matritsaga 
qoʻshma matritsa deyiladi. 
Masalan, 
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j
n
j
n
i
i
ij
in
n
n
nj
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a








= 











matritsaga qoʻshma matritsa 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
292

---

11
21
1
1
12
22
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
i
n
i
n
j
j
ij
nj
n
n
in
nn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A








= 











koʻrinishda boʻladi.
 
1-misol. 
Quyidagi 
1
2
3
0
4
1
5
0
0
A
−




=
−






matritsa uchun qoʻshma matritsa topilsin. 
Yechish.
Matritsaning barcha elementlariga mos algebraik toʻldiruvchilarni 
hisoblaymiz: 
1 1
11
4
1
( 1)
0,
0
0
A
+
−
= −

=
1 2
12
0
1
( 1)
5,
5
0
A
+
−
= −

= −
1 3
13
0
4
( 1)
20,
5
0
A
+
= −

= −
2 1
21
2
3
( 1)
0,
0
0
A
+
−
= −

=
2 2
22
1
3
( 1)
15,
5
0
A
+
= −

= −
2 3
23
1
2
( 1)
10,
5
0
A
+
−
= −

= −
3 1
31
2
3
( 1)
10,
4
1
A
+
−
= −

= −
−
3 2
32
1
3
( 1)
1,
0
1
A
+
= −

=
−
3 3
33
1
2
( 1)
4.
0
4
A
+
−
= −

=
Shunday qilib, berilgan 
A
kvadrat matritsaga qoʻshma boʻlgan 
A
matritsa 
0
5
20
0
0
10
0
15
10
5
15
1
10
1
4
20
10
4
T
A
−
−
−








=
−
−
= −
−








−
−
−




koʻrinishda aniqlanadi. 
2. Teskari matritsa ta’rifi. Xos va xosmas matritsalar. Teskari matritsa 
mavjudligining zaruriy va etarli sharti. 
2-ta’rif.
Agar 
A
kvadrat matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, ya’ni 
det
0
A

bo‘lsa, 
A
 
matritsa 
xosmas matritsa
deyiladi.
3-ta’rif.
Agar 
det
0
A
=
bo‘lsa, 
A
 
matritsa 
xos matritsa 
deyiladi.
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
293

---

4-ta’rif.
Agar 
A
kvadrat matritsa uchun 
E
A
A
AA
=
=
−
−
1
1
tenglik bajarilsa, u 
holda 
1
−
A
matritsa 
A
matritsaga teskari matritsa deyiladi. 
1-teorema. 
A
kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun 
A
matritsa 
xosmas matritsa 
bo‘lishi zarur va etarli.
Isbot. Zaruriyligi:
Faraz qilaylik 
A
matritsa uchun 
1
−
A
teskari matritsa mavjud 
bolsin, 
u 
holda 
determinantning 
xossasiga 
ko‘ra, 
1
1
det( )det(
)
det(
)
det( ) 1
A
A
AA
E
−
−
=
=
=
boʻladi. Bundan, agar teskari matritsa mavjud 
boʻlsa 
1
1
det( )
0
det(
)
A
A
−
=

ekanligini kelib chiqadi. 
Etarliligi:
Faraz qilaylik A n tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, 
0

A
bo‘lsin.. 
A
matritsaga qo‘shma 
A
matritsani quramiz 


















=
nn
in
m
n
nj
ij
j
j
n
i
n
i
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
12
1
1
21
11
A
va 
A
matritsalar ko‘paytmasini qaraymiz: 







































=
nn
in
m
n
nj
ij
j
j
n
i
n
i
nn
nj
n
n
in
ij
i
i
n
j
n
j
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
12
1
1
21
11
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
. 
A
A
ko‘paytmaning har bir elementi
jn
in
j
i
j
i
A
a
A
a
A
a
+



+
+
2
2
1
1
yigindidan iborat bo‘ladi. U holda Laplas teoremasi va uning natijasiga ga ko‘ra

=

=
n
s
ij
js
is
A
A
a
1
, 
Qaysiki, bu yerda 



=

=

.
0
,
1
j
i
при
j
i
при
ij
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
294

---

Bundan 
A
va 
A
matritsalar ko‘paytmasi, quyidagi skalyar matritsaga teng 
boladi.













=














1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
A
A
A
A
. 
Bundan, 
E
A
A
A
=
. (1) 
Xuddi shu usulda
E
A
A
A
=
(2) 
Tenglikni keltirib chiqarish mumkin. U holda (1) va (2) tengliklardan
A
A
A

=
−
1
1
, 
yoki 




























=
−
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
nn
in
m
n
nj
ij
j
j
n
i
n
i
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
12
1
1
21
11
1
(3) 
Kelib chiqadi. Haqiqatan ham (1) dan