Teskari matritsa. Teskari matritsani hisoblash usullari

E
A
A
A
A
A
A
AA
=

=

=
−
1
1
1
, 
va (2) dan bu qurilgan 
1
−
A
matritsa 
A
matritsaga teskari matritsa bo‘ladi, ya’ni 
E
A
A
=
−
1
. 
Teorema isbotlandi. 
Yuqoridagi (3) tenglik teskari matritsani hisoblash qoidasini beradi. 
Izoh. 
Teskari matritsa
 
1
−
A
yagona bo‘ladi. Haqiqatan, agar biz 
A
matritsaga 
teskari boshqa bir 
X
matritsa mavjud desak, ya’ni 1) 
AX
E
=
bo‘lsa, u holda bu 
tenglikni chap tarafdan 
1
−
A
matritsaga ko‘paytirib 
1
X
A
−
=
, 2) 
XA
E
=
bo‘lsa, u 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
295

---

holda bu tenglikni o‘ng tarafdan 
1
−
A
matritsaga ko‘paytirib 
1
X
A
−
=
ga ega 
bo‘lamiz. 
2-tеореmа.
Xos matritsaga teskari matrirsa mavjud emas. 
2-misol. 
Berilgan matritsa:
1
2
3
4
5
6
7
8
0
A




= 





ga teskari matritsani toping: 
Yechish. 
1)
A
matritsaning determinantini topamiz: 
5 6
4 6
4 5
det
1
2
3
8 0
7
0
7 8
A
= 
− 
+ 
=
(
)
(
)
48 2
42
3 32 35
48 84 9
27
0.
= − −  −
+ 
−
= − +
− =

det
0
A

demak, 
1
A
−
mavjud. 
2) 
A
matritsa barcha elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz: 
( )
1 1
11
5 6
1
5 0 6 8
48;
8
0
A
+
= −

=  −  = −
( )
(
)
1 2
12
4 6
1
4 0 6 7
42;
7
0
A
+
= −

= −  −  =
( )
1 3
13
4 5
1
4 8 5 7
3;
7 8
A
+
= −

=  −  = −
21
2
3
24;
8
0
A
= −
=
22
1 3
21;
7 0
A
=
= −
23
1
2
6;
7
8
A
= −
=
31
2 3
3;
5 6
A
=
= −
 
32
1
3
6;
4
6
A
= −
=
33
1 2
3;
4 5
A
=
= −
 
3) 
( )
48
24
3
42
21
6
3
6
3
T
ij
A
A
−
−




=
=
−




−
−


matritsani yozamiz. 
4) 
1
A
−
matritsani topamiz: 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
296

---

1
16
8
1
9
9
9
48
24
3
1
1
14
7
2
42
21
6
.
det
27
9
9
9
3
6
3
1
2
1
9
9
9
A
A
A
−


−
−


−
−

 


 

=
 =

−
=
−

 



−
−






−
−




Tekshiramiz: 
1
16
8
1
9
9
9
1
2
3
1
0
0
14
7
2
4
5
6
0
1
0 ;
9
9
9
7
8
0
0
0
1
1
2
1
9
9
9
A
A
−


−
−



 




 



 =
−

=

 


 
 


 
 



−
−




1
16
8
1
9
9
9
1
2
3
1
0
0
14
7
2
4
5
6
0
1
0 .
9
9
9
7
8
0
0
0
1
1
2
1
9
9
9
A A
−


−
−















=

−
=


















−
−




3-misol. 
Uchburchakli matritsa










=
2
1
1
0
1
2
0
0
1
A
uchun teskari matritsani toping. 
Yechish.
Determinantni hisoblaymiz:
0
2
2
1
1
0
1
2
0
0
1

=
=
A
. 
Qo‘shma matritsani tuzamiz:










−
−
=
1
1
1
0
2
4
0
0
2
A
A
matritsani 
2
=
A
ga bo‘lib,
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
297

---













−
−
=
−
2
1
2
1
2
1
0
1
2
0
0
1
1
A
. 
Teskari matritsaga ega bo‘lamiz.
Teskari matritsaning asosiy xossalari. 
;
)
1
1
1
−
−
=
A
A
( )
;
)
2
1
1
A
A
=
−
−
(
)
;
)
3
1
1
1
−
−
−

=

A
B
B
A
( )
( )

=

−
−
1
1
)
4
A
A
. 
3-xossaning isbotini ko‘ramiz:
( )
(
) (
)
( )
1
1
1
1
1
1
AB B A
A BB
A
AE A
AA
E
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
, 
(
)
( )
(
)
( )
1
1
1
1
1
1
B A
AB
B A A B
BE B
BB
E
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
bundan 
( )
1
1
1
−
−
−
=
AB
A
B
. 
4-xossaning isbotini ko‘ramiz:
( ) ( )
E
E
A
A
A
A
=

=

=


−
−
1
1
, 
bundan 
( )
( )
1
1
−
−

=

A
A
. 
5-ta’rif.
Agar 
A
kvadrat matritsa uchun 
t
t
A A
A A
E

=
=
( ya’ni 
1
t
A
A
−
=
) 
bo‘lsa, u holda 
A
matritsa orthogonal matritsa deyiladi.
3-tеорема.
Har qanday orthogonal matritsa uchun teskari matritsa mavjud va u 
ham orthogonal matritsa bo‘ladi.
Bu teorema 
( )
A
A
=


bolganidan , 
E
A
A
A
A
=

=


kelib chiqadi. 
4-tеорема.
Orthogonal matritsalarning 
ko‘paytmasi
ham orthogonal matritsa 
bo‘ladi. 
3. Ekvivalent almashtirishlar yordamida teskari matritsani hisoblash.
Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usulida maxsusmas matritsani shu 
tartibdagi birlik matritsa bilan kengaytiriladi, kengaytirilgan matritsa satrlari ustida 
elementar almashtirish to kengaytirilgan matritsa birinchi qismida birlik matritsa 
hosil boʻlguncha olib boriladi, natijada kengaytirilgan matritsaning ikkinchi qismida 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
298

---

berilgan matritsaga teskari boʻlgan matritsa hosil boʻladi. Bu jarayonni Gauss-Jordan 
modifikatsiyasi (yoki formulasi) koʻrinishida yozishimiz mumkin: 
( )
(
)
1
~
A E
E A
−
4-misol. 
Gauss-Jordan usulida berilgan matritsaga teskari matritsani toping. 
1 1
1
1 2
1 .
2 2
4
A




=
−






Yechish. 
(
)
3 6

o‘lchamli 
(
)
/
Г
A E
=
kengaytirilgan matritsani yozamiz. Avval 
matritsaning satrlari ustida elementar almashtirishlar bajarib uni pog‘onasimon 
ko‘rinishga keltiramiz 
(
)
1
1
/
Г
A B
=
, keyin 
(
)
1
2
/
Г
E A
−
=
ko‘rinishga keltiramiz.
1
1
1 1
0
0
1
2
1 0
1
0
2
2
4 0
0
1
2
Г
II I
III
I




=
−
−




− 


1
1
1
1 1
0
0
0
1
2 1 1
0
0
0
2
2
0
1
Г
II III




=
− −
+




−


1
1
1 1
0
0
0
1
0 3
1
1
0
0
2 2
0
1
2
III




−




−



1
1
1 1
0
0
0
1
0 3
1
1
0
0
1
1
1 0
2
I
II
III




− −


−




−




2
3
5
1
1
0
0
2
0
1
0 3
1
1
0
0
1
1
1
0
2
Г


−
−




−
=




−




Demak, 
1
3
5
1
2
3
1
1
.
1
1
0
2
A
−


−
−




= −




−




Tekshiramiz: 
1
3
5
1
1
1
1
1
0
0
2
1
2
1
3
1
1
0
1
0 .
2
2
4
1
0
0
1
1
0
2
AA
−


−
−












=
−
−
=
















−




"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
299

---

1
3
5
1
1
1
1
1
0
0
2
3
1
1
1
2
1
0
1
0 .
1
2
2
4
0
0
1
1
0
2
A A
−


−
−


 



 

= −
− =


 


 



 

−



