Electricidad y Electrónica

se la suelta, se hallará, en la réplica pequeña, que ese peso es insignificante, y que
no alcanza para despegar la pieza de la que la sostenía, a la cual quedará adherida
electrostáticamente.
4
Es que la carga eléctrica responde a la superficie, mientras
que el peso depende del volumen. 
Así como la pequeñez trae esos inconvenientes, tiene también ventajas, entre
ellas la robustez. La velocidad de giro de un motor de automóvil, o de lavarropas,
es del orden de las mil revoluciones por minuto. Una amoladora de disco, alcanza
las tres mil. Una mayor velocidad de giro haría que esos motores se despedacen;
o que, sin eso, vibren tanto, que se desgasten en poco tiempo. Un torno de den-
tista, más pequeño, alcanza fácilmente las diez mil revoluciones por minuto. Y un
motor mems, si es suficientemente pequeño, puede girar a medio millón de revo-
luciones por minuto.
Veamos en detalle físico y cuantitativo ese efecto, a través de un ejemplo sim-
plificado, resuelto mediante una técnica aproximada de estimación, basada en el
análisis dimensional.
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Imaginemos una pieza giratoria de radio R (en metros), una densidad  (en
kilogramos por metro cúbico), hecha con un material que resiste una tensión me-
cánica  (en pascales, o N/m), y que gira a una frecuencia 
n (en revoluciones por
minuto). Supongamos, además, que esa máquina se diseñó al límite de su resis-
tencia mecánica, y que si girase a mayor frecuencia que n, se rompería. ¿Qué re-
lación existe entre las magnitudes mencionadas?
El análisis dimensional ofrece la siguiente rutina de resolu-
ción. Partimos de la hipótesis de que n es proporcional al pro-
ducto de las otras magnitudes, cada una de ellas elevada a una
potencia incógnita, designada con una de las letras alfa, beta y
gamma. (Esa potencia podrá ser positiva, negativa, nula, entera
o fraccionaria.)
n = R
a

b

g                
[1]
La unidad revoluciones por minuto se escribe 1/min. Reducimos las unidades
1/min, m, kg/m
3
y N/m
2
, a longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Tenemos en
E l e c t r i c i d a d   y   e l e c t r ó n i c a
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Seguramente  oímos
alguna vez cómo sue-
na un ladrillo bien co-
cido, cuando se lo gol-
pea con una cuchara
de    albañil.  El  ladrillo
canta una nota de fre-
cuencia  cercana  a  1
kHz. Con razonamien-
tos de análisis dimen-
sional, se puede con-
cluir que, si el ladrillo
midiera mil veces me -
nos, vibraría a 1 MHz.
Precisamente, se u san
cristales de cuarzo pie-
zoeléctricos  de ese
tamaño, y más peque-
ños, como osciladores
electromecánicos  de
gran esta bilidad, para
la  ba se  de  tiempo  de
los relojes de cuarzo, y
para estabilizar la fre-
cuencia de transmiso-
res  de  radio  y  TV  (el
capítulo  anterior  da
más detalles sobre el
comportamiento  del
cuarzo, y otros mate-
riales piezoeléctricos).
Por su diminuto tama-
ño, esos cristales pie-
zoeléctricos se consi-
deran MEMS: micro-
sistemas electrome-
cá nicos.
l
 
R 
4
En algunas operaciones quirúrgicas para implantar huesecillos de plástico en el oído medio, en reemplazo de los ori-
ginales dañados por una infección, los cirujanos deben usar herramientas especiales, para poder soltar los diminutos
repuestos sin que se queden pegados a las pinzas.
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Ese método busca una relación matemática entre las magnitudes físicas que intervienen en un problema, de modo
que se satisfaga la correspondencia de unidades. Por ejemplo, si suponemos que el período de un péndulo depende
de la longitud L del hilo, en metros, y de la aceleración g de la gravedad, en metros por segundo al cuadrado, entonces
la relación tiene que ser parecida a T = k
(L/g), dado que otra diferente haría que no se correspondan las unidades.
La fórmula verdadera, hallada a partir de consideraciones físicas, es T = 2
(L/g). La constante k no la da este método,
pero igualmente es útil, si lo que interesa es evaluar un orden de magnitud, y no una cantidad exacta.
Cap 19:Maquetación 1  06/10/2010  03:49 a.m.  Página 232

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cuenta que 1 N (un newton) equivale a 1 kg.m/s
2
, por lo que N/m
2
es lo mismo
que (kg.m/s
2
)/m
2
); o, si simplificamos, kg/(s
2
.m).
[n] = T
–1
[R] = L
[] = M.L
–3
[] = M.T
–2
.L
–1
Los corchetes rectangulares indican las dimensiones. Se lee: las dimensiones de
la frecuencia son de inversa de tiempo, o tiempo a la menos uno; las dimensiones
del radio son de longitud; las dimensiones de la densidad son de masa por longitud
a la menos tres; y las dimensiones de la tensión mecánica resistida son de masa
por tiempo a la menos dos, por longitud a la menos uno.
Escribimos nuevamente la ecuación [1] para las dimensiones, y resulta: 
T
–1 
= L
a  
M
b  
L
-3
b  
M
g  
T
-2
g  
L
-
g
Para que se cumpla esa igualdad, las potencias conjuntas de cada dimensión
(letras M, L y T) deben sumar lo mismo de un lado y otro de la igualdad:
0 = b + g
0 = a – 3b – g
–1 = –2g
De esas tres ecuaciones deducimos que
a = –1       b = –½,        y       g = ½.
La potencia ½ equivale a la raíz cuadrada; y la potencia –½, a la inversa de la raíz
cuadrada. La fórmula que estamos buscando es cercana, entonces, a la siguiente:
La fórmula verdadera podrá no tener esa apariencia exacta. Faltará, quizás, un
factor sin unidades, que dependa de la forma de la pieza giratoria. Pero lo que sí
podemos concluir, es que para una dada densidad (la misma, aproximadamente,
para piezas de tamaño ordinario que para las micromecánicas), y para una cierta
resistencia a los esfuerzos mecánicos (también la misma, o semejante, en ambos
casos), la velocidad de rotación que puede alcanzar una pieza sin romperse, es in-
versamente proporcional a su radio. Cuanta más pequeña sea la pieza, más vueltas
podrá dar por minuto sin que se deshaga. Si un motor de coche mide medio metro
de diámetro, y gira a dos mil revoluciones por minuto, un motor diminuto de
medio milímetro de diámetro podría girar, entonces, a dos millones de revolucio-
nes por minuto; y en verdad lo hace, a una velocidad no muy diferente de ésa, sin
sufrir daños. 
2 3 3
S i s t e m a s   m i c r o e l e c t r o m e c á n i c o s
Por su tamaño, un del-
fín puede avanzar por
inercia  varios    cuer-
pos  sin  nadar.  Pero
una  bacteria  se  de-
tiene casi al instante;
y además, presa de la
tensión superficial, no
puede saltar, como sí
lo hace el mamífero.
l
1
R
n =


Cap 19:Maquetación 1  06/10/2010  03:49 a.m.  Página 233

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