22-mavzu: Kvadratlar ayirmasi formulasi

_____________ SANA


DARS MAVZUSI: Kvadratlar ayirmasi formulasi

Darsdan maqsad.

O'quvchilarni kvadratlar ayirmasi formulasi bilan tanishtirish.
 O'quvchilar ega bo'lishlari lozim bo'lgan bilim va ko'nikmalar
Bilimlar:
- kvadratlar ayirmasi formulasi.
Ko'nikmalar:
- kvadratlar ayirmasi formulasini mashqlar bajarishda qo'llay olish.


Kvadratlar ayirmasi formulasini ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish usulidan foydalanib keltirib chiqarish.

Ikki son kvadratlari ayirmasi a² – b² ifoda berilgan bo‘lsin. Bu ifodaga ab birhadni qo‘shamiz va ayiramiz:

a² – b² = a² – b² + ab – ab .

Hosil bo‘lgan ko‘phadning 1- va 3- hadlarini guruhlaymiz, 2- va 4- hadlarini esa “–” ishorasi bilan guruhlaymiz, so‘ngra ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

a² – b² + ab – ab = (a² + ab) – (b² + ab) = a(a + b) – b(b + a) =
= (a + b)(a – b) .
Demak,
a² – b² = (a + b)(a – b) .
ikki son ayirmasining kvadratiikki son ayirmasining kvadrati
Hosil bo‘lgan tenglikni kvadratlar ayirmasi formulasi deyiladi.
Tenglikning o‘ng va chap tomonlarining o‘rnini almashtirsak
(a + b)(a – b) = a² – b² .
hosil bo‘ladi. Bu formula ham qisqa ko‘paytirish formulasi deyiladi.
Bu tengliklarda a va b istalgan sonlar yoki algebraik ifodalardir, masalan:
1) m²n²– 9k² = (mn + 3k) (mn – 3k) ;
2) (2a²b + 5ab²) (2a²b – 5ab²) = 4a⁴b² – 25a²b⁴ .


Kvadratlar ayirmasi formulasining tatbiqlari.


Qisqa ko‘paytirish formulasi


(a + b)(a – b) = a² – b²


dan hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo'llaniladi.

Masalan:
1) 37 · 43 = (40 – 3) · (40 + 3) = 40² – 3² = 1600 – 9 = 1591 ;

2) 102 · 98 = (100 + 2) · (100 – 2) = 100² – 2² = 10000 – 4 = 9996 .


Kvadratlar ayirmasi formulasi
a² – b² = (a + b)(a – b)
dan ко'phadlarni ko'paytuvchilarga ajratishda qo'llaniladi.
Masalan:
1) a² – 16 = (a + 4)(a – 4) ;
2) 9b⁶ – 0,81c⁴ = (3b³)² – (0,9c²)² = (3b³ + 0,9c²)( 3b³ – 0,9c²) .

1. 
   Kvadratlar ayirmasi formulasini geometrik usul bilan keltirib chiqarish.
   

a² – b² = (a + b)(a – b) formulani geometrik mulohaza yordamida ham keltirib chiqarish mumkin.

Quyidagi rasmda tomonlarining uzunligi a bo'lgan kvadratdan tomonlari uzunligi b bo'lgan kvadrat qirqib olindi. Qolgan shaklning yuzi S ni topamiz. Bir tomondan S = a^2 – b^2 . Ikkinchi tomondan bu yuza tomonlari a va a – b ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak hamda tomonlari b va a – b ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzalari yig‘indisiga teng, ya’ni: S = a(a – b) + b(a – b) = (a – b)(a + b) . Demak, a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) .

Darsni mustahkamlash:
1. Kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanib, ko'paytirishlarni bajaring:
a) (1,3a² – 0,2b²)(2,6a² + 0,4b²) .


(1,3a² – 0,2b²)(2,6a² + 0,4b²) = (1,3a² – 0,2b²)(2 · 1,3a² + 2 · 0,2b²) = 2(1,3a² – 0,2b²)(1,3a² + 0,2b²) = 2((1,3a²)² – 2·1,3a²0,2b²+(0,2b²))= 2(1,69a² – 0,52a²b² + 0,04b²) = 2 · 1,69a² – 2 · 0,52a²b² + 2· 0,04b²=
= 3,38a² – 1,04a²b² + 0,08b² .

2. 
   (5x² –3y²)(2x + y)(2x – y) .
   

(5x² –3y²)(2x + y)(2x – y) = (5x² – 3y²)((2x)² – y²)=(5x²–3y²)(4x⁴–y²)= (5x²4x⁴ – 5x²y² – 3y²4x⁴ + 3y²y²) = 20x⁶ – 5x²y² – 12y²x⁴+3y⁴
Kvadratlar ayirmasi formulasi


a² – b² = (a + b)(a – b)