C November 20, 2017

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November 20, 2017,

Christopher D. Carroll

LucasGrowth

The Lucas Growth Model

Lucas

(

1988

) presents a growth model in which output is generated via a production

function of the form

Y = AK

α

( hL)

1−α

(1)

where Y, A, and K are as usually defined and 0 < α < 1, where

is defined as the

proportion of total labor time spent working, and h is what Lucas calls the stock of

‘human capital.’

The production function can be rewritten in per-capita terms as

y = Ak

α

( h)

1−α

(2)

which is a constant returns to scale production function in k and h.

Capital accumulation proceeds via the usual differential equation,

˙k = y − c − (ξ + δ)k,

(3)

while h accumulates according to

˙h = φh(1 − )

(4)

˙h/h = φ(1 − ).

(5)

1 Discussion

Before analyzing the model, an aside.

Mankiw

(

1995

) has persuasively argued for

defining ‘knowledge’ as the sum total of technological and scientific discoveries (what

is written in textbooks, scholarly journals, websites, and the like), and defining

‘human capital’ as the stock of knowledge that has been transmitted from those

sources into human brains via studying.

Recall

Rebelo

(

1991

)’s key insight about endogenous growth models: In order to

produce perpetual growth, there must be a factor or a combination of factors that

can be accumulated indefinitely without diminishing returns. Mankiw points out

that since lifetimes are finite, there is a maximum limit to the amount of human

capital that an individual can accumulate. Thus, while increasing human capital

(with more years of schooling, for example) may be able to extend the length of

the transition period in a growth model, human capital accumulation cannot be the

source of perpetual growth. It is more plausible to think that scientific knowledge

can be accumulated indefinitely (though presumably there is some limit even to the

accumulation of knowledge). These considerations suggest that models of endogenous

growth should focus more on understanding the process of fundamental research and

---

technological development than on human capital accumulation as Mankiw defines

it.

With this distinction in mind, there are (at least) two interpretations of the Lucas

model. One is at the aggregate level. Here we can think of

as the fraction of the

population engaged in useful work to produce goods and services, while proportion

1− is not working in conventional boring jobs that require asking customers questions

like “Would you like fries with that?”

but instead is producing ‘knowledge’ by

conducting scientific and technological research.

The other interpretation is at the level of an individual agent. Such an agent can

be thought of as operating his or her own production function of the form in (

2

),

where (1 − ) is now interpreted as the proportion of the time this individual spends

studying and

is the time spent working.

From the point of view of Mankiw’s distinction, it is hard to interpret Lucas’s model

as being either about human capital accumulation or about knowledge. It can’t be

about human capital because h can be accumulated without bound, and without

diminishing returns, neither of which makes sense for an individual. It can’t be about

generalized knowledge, because the optimization problem reflects the return for an

individual, while only a trivial proportion of total knowledge (in Mankiw’s sense) is

contributed by any single individual.

Given these considerations, it probably makes more sense to think of the model as

a tool for normative than for positive analysis.

2 The Solow Version

We analyze first the ‘Solow’ version of the model, in which the saving rate is exoge-

nously fixed at s. Thus the capital accumulation equation becomes

˙k = sy − (ξ + δ)k

(6)

˙k/k = s(y/k) − (ξ + δ)

(7)

= sk

α−1

( h)

1−α

− (ξ + δ)

(8)

= s(k/h)

α−1 1−α

− (ξ + δ).

(9)

This equation tells us that the steady-state growth rate in this model (if one exists)

requires a constant ratio of k to h. Thus, k and h must be growing at the same rate

in equilibrium.

Further insight can be obtained by defining ˆ

A = A

1−α

and rewriting the per-capita

production function as

y =

ˆ

Ak

α

h

1−α

.

(10)

If we define a measure of ‘broad capital’ as the combination of physical capital and

2

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human capital,

κ ≡ k

α

h

1−α

,

(11)

the model becomes

y = ˆ

Aκ.

(12)

So if

is constant and if k and h are growing at the same rate, then the exponent

on ‘broad capital’ is 1, and we are effectively back at the usual Rebelo AK model.

The key assumption that permits this to work is the accumulation equation for

human capital, which is itself like an AK model, in the sense that the exponent on

human capital in the accumulation equation for human capital is one. Human capital

can be accumulated without bound and without diminishing returns.

3 The Ramsey/Cass-Koopmans Version

Lucas does not examine the Solow version of the model with a constant saving rate,

but instead the version in which a social planner solves for the optimal perfect foresight

paths of the two state variables k and h. It’s not worth going through the math here;

I’ll just present the conclusion, which is that the steady-state growth rate is

˙c/c = ρ

−1

(φ − θ).

(13)

Note that this confirms the crucial role of the CRS accumulation equation for

human capital: The key parameter that corresponds to the interest rate is φ, the

parameter that determines the efficiency of human capital accumulation in equation

(

4

).

Lucas also solves a version of the model in which there is an externality to human

capital. The idea here is that each person is more productive if they are surrounded

by other people with high levels of human capital. Specifically, in this version of the

model the individual’s production function is

y

i

= Ak

α

i

(

i

h

i

)

1−α

¯

h

ψ

(14)

where ¯

h is average human wealth in the population (and the other variables reflect

the values for the individual).

Working through the decentralized solution, Lucas shows that the steady-state

growth rate of human capital for an individual consumer will be

γ

h

=

ρ

−1

(φ − θ)

1 + ψ(1 − 1/ρ)/(1 − α)

.

(15)

Since every individual is assumed to be identical, the growth rate of aggregate

human capital (and everything else) is the same as the rate for this individual.

3

---

It is easy to see that if there is no externality to human capital accumulation (that

is, if ψ = 0), this solution is identical to (

13

). If there is an externality, its effect

depends on whether 1/ρ is greater than, equal to, or less than 1. This is because

the effect depends on whether the externality causes the saving rate to rise or to

fall (since in endogenous growth models, saving is the source of all growth). The ¯

h

externality is like an increase in the interest rate, and thus its effect will be determined

by the balance between the income and substitution effects. We know that for ρ = 1

the income and substitution effects exactly offset each other, leaving consumption

unchanged in response to an increase in the interest rate, which is why (

15

) collapses

to (

13

) for ρ = 1.

If consumers are very willing to cut current consumption in

exchange for higher future consumption (that is, if the intertemporal elasticity of

substitution (1/ρ) is greater than 1), then the externality boosts saving and therefore

growth. If consumers have an intertemporal elasticity of less than one, the income

effect outweighs the substitution effect, saving falls, and growth is slower.

Lucas also shows that this decentralized solution is suboptimal, because individual

consumers do not obtain the full benefits to society of increasing their own stock of

knowledge. Devoting more time to h

i

accumulation they increase ¯

h, which benefits all

others in the economy in addition to themselves. Lucas shows, unsurprisingly, that the

socially optimal solution requires greater investment in human capital accumulation

than is obtained in the decentralized model. He also derives an optimal subsidy to

human capital accumulation that corrects the externality and induces households to

invest the socially optimal amount in human capital.

4

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References

Lucas, Robert E. (1988): “On the Mechanics of Economic Development,” Journal

of Monetary Economics, 22, 3–42.

Mankiw, N. Gregory (1995): “The Growth of Nations,” Brookings Papers on

Economic Activity, 1995(1), 275–326.

Rebelo, Sergio T. (1991): “Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth,”

Journal of Political Economy, 99(3), 500–521.

5

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Document Outline

• Discussion
• The Solow Version
• The Ramsey/Cass-Koopmans Version