Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning gauss usuli

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING
GAUSS USULI.


n ta no’malumli m ta tenglamalar sistemasini karaymiz.
(1)
Agar chizikli tenglamar sistemasi yechimga ega bulsa, u birgalikda, agar yechimga ega bulmasa, u birgalikda emas deyiladi. quyidagi elementar almashtirishlar natijasida tenglamalar sistemasi uziga teng kuchli sistemaga almashadi.

1. 
   Istalgan ikki tenglamani urinlarini almashtirilsa;
   
2. 
   Tenglamalardan istalgan birini ikkala tomonini noldan farkli songa kupaytirilsa;
   
3. 
   Tenglamalardan birini istalgan xakikiy songa kupaytirib, boshqa tenglamaga qo’shilsa.
   

Agar n>m bulsa, n-m ta bir xil noma’lumli xadlarni tengliklarning o’ng tomoniga olib utib, o’ng tomidagi nomalumlarga ixtiyoriy qiymatlarni kabul kiladi deb, tenglamalar sistemasini n=m xolga keltirib olish mumkin. Shuni e’tiborga olib, (1) sistemani n=m xoli uchun echamiz.
Gauss usulining moxiyati noma’lumlarni ikkinchi tenglamadan boshlab, ketma-ket yukotib oxirgi teglamada bitta no’malum kolguncha davom ettiriladi va oxirgi tenglamadan yukoriga karab no’malumlarni ketma-ket topib, yechim xosil kilinadi.
1-qadam. (1) sistemada birinchi tenglamani xar ikki tomonini a₁₁ ga bo’lib, teng kuchlik ushbu sistemani xosil kilamiz:
(2)
Birinchi tenglamani a₂₁ ga kupaytirib ikkinchi tenglamadan, a₃₁ ga kupaytirib uchinchi tenglamadan va xokazo a_n1 ga kupaytirib, n-tenglamadan ayiramiz. Natijada yana berilgan sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani xosil kilamiz:
(3)
Bu sistemada quyidagicha belgilashlar kiritilgan:
a’_1k = a_1k/a₁₁, a’_{i k} = a_{i k} - (a_1k/a₁₁)a _i1 ,
b’₁ = b₁/a₁₁, b’_i = b_i - (b₁/a₁₁)a _i1.
i=2,..,n
k=2,..,n.
Agar (3) sistemada biror tenglama chap tomonnidagi barcha koeffitsentlar nolga teng, o’ng tomoni esa noldan farkli bulsa, ya’ni
0x₂+ 0x₃ + ... + 0x_n = b _k (4)
kurinishdagi tenglama xosil bulsa, sistema birgalikda emas bo’ladi va ishni shu erda tuxtaliladi.
Agar (4) kurinishdagi tenglama xosil bulmasa keyingi kadamga utiladi .
2-qadam. Ikkinchi tenglamani a₂₂ koefitsentga bulamiz, xosil bulgan sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma-ket a’₃₂,...,a’_n2 ga kupaytirib uchinchi, turtinchi va xokazo tenglamalardan ayiramiz.
Biz bu jarayonni oxirgi tenglamada x_n noma’lum kolguncha dovom ettirsak, dastlabki sistemaga teng kuchli
(5)

5. 
   kurinishdagi sistemaga ega bulamiz . x_n=d_n qiymatini (n-1) tenglama kuyib x_n-1 ni topamiz va xokazo , bu ishni x₁topilguncha davom ettiramiz.
   

1-misol. quyidagi tenglama sistemasi echilsin .

Yechish. Birinchi tenglamaning barcha xadlarini a₁₁=2 ga bo’lib,

sistemani xosil kilamiz. Birinchi tenglamani 3ga kupaytirib ikkinchi tenglamadan, so’ngra uchinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayiramiz:

Ikkinchi tenglamani 0.5 ga bo’lib ,so’ngra uni -1.5 ga kupaytirib , uni uchinchi tenglamadan ayiramiz.
Natijada xosil bo’ladi. Bundan ketma-ket x₃=3, x₂=-1+3=2, x₁=0.5-0.5x₂ +0.5x₃ =1 larni topamiz. Shunday kilib, berilgan sistemani yechimi x₁=1, x₂ =2, x₃ =3 dan iborat ekan.
2-misol. sistema echilsin.
Bu sistemada uchta tenglama beshta nomalum bulgandan, x₄ va x₅ larni o’ng tomonga olib utamiz.

Misol uchun, x₄ =2, x₅ =1 qiymatlarni qo’ysak

sistema xosil bo’ladi. x₂ =3 ekanini e’tiborga olsak,

sistemaga ega bulamiz. Birinchi tenglamani 2ga kupaytirib,undan ikkinchi tenglamani ayirsak

xosil bo’ladi . Bundan x₃ =-³/₇, x₂ =3, x₁ =¹²/₇.

1-misol. tenglamalar sistemasi yechilsin.

Yechish. Sistemani Kramer usulida yechamiz.

x₁ =81, x₂ = -108, x₃ = -27, x₄ = 27.
Demak ,sistema yagona yechimga ega, chunki 0. Bu yechim esa
x₁= x₁/ = 3, x₂= x₂/ = -4, x₃= x₃/ = -1, x₄= x₄/ = 1.
bo’ladi.
(1) tenglamalar sistemasi bir jinsli, ya’ni b₁ = b₂ =...= b_n= 0 bulgan xolni ko’ramiz.
(2)
(2) tenglamalar sistemasi bir jinsli ,chizikli tenglamalar sistemasi deyiladi .
Ishonch xosil kilish mumkinki, x₁ = x₂ = ... = x_n = 0 (2) ning yechimi bo’ladi va bu yechimni trivial yechim deb ataladi. Agar (2) bir jinsli sistemanig asosiy determinanti  noldan farkli bulsa , bu sistema fakat trivial yechimga ega bo’ladi. chunki bu xolda x₁=x₂ = ... =x_n= 0 va Kramer formulasiga asosan x₁=x₂=...=x_n =0 bo’ladi .
Demak ,(2) sistemani notrivial yechimi mavjud bulishi uchun =0 bulishi zarur .
2-misol. tenglamalar sistemasi yechilsin.
Yechish. x₁=x₂=0 trivial yechim ekani ravshan.

bundan kurinadiki, sistemaning notrivial yechimi bulishi mumkin. Xakikatan xam x₁=t, x₂=t (t-ixtiyoriy xakikiy son) sistemaning notrivial yechimi bo’ladi.
Bu sistemada x₄ va x₅ nomalumlarga boshqa qiymatlar berib, yangi yechim xosil kilish mumkin ekanini, boshqacha aytganda n>m bulganda yechim yagona bo’lmay cheksiz kup bulishini eslab utamiz.
Etibor kiladigan bulsak, sistemani yechishning Gauss usulida sistemani birgalikda ekanini oldindan aniklab olinmaydi. Tenglamalar sistemasini birgalikda bulish-bulmasligini, uni echmasdan turib aniklash usuli bilan tanishamiz.
(1) tenglamalar sistemani koefitsentlaridan tuzilgan m*n tartibli

hamda m(n+1) - tartibli kengaytirilgan

matritsalarni tuzib olamiz.
Teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi)

1. 
   tenglamalar sistemasi birgalikda bulishi uchun A va A’ matritsalarning ranglari teng bulishi, ya’ni rang A= rang A’ bulish zarur va etadi.
   

Keltirilgan teoremadan quyidagi xulosalar kelib chekadi:

1. 
   Agar rang A’ > rang A bulsa (1) sistema yechimga ega bo’lmaydi.
   
2. 
   Agar rang A = rang A’ = k bulsa, sistema yechimga ega bo’lib,
   

a) kb) k=n bulsa, sistema yagona yechimga bo’ladi.
3-misol. tenglamalar sistemasi yechilsin.
Yechish. Bu yerda n=2, m=3 ya’ni m>n.
,
rang A =2 chunki bulishini etiborga olsak rang A’=2, demak bu sistemani yechimi mavjud. Berilgan sistemani birinchi ikki tenglamasini birgalikda echsak x₁=-⁵/₁₇; x₂=²³/₁₇, kilib chiqadi. Bu sonlar uchinchi tenglamani xam kanoatlantiradi.
4x₁+9x₂=4(-5/17) +923/17=11.
Demak, (-⁵/₁₇; ²³/₁₇) sistemaning yechimi bo’ladi.