Det(A) = det(AT)

det(A) = det(AT)

• det(A) = det(AT)

• Se A tem uma linha (ou coluna) nula então det(A) = 0

• Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas (ou colunas) então det(A’) = - det(A)

• Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det(A) = 0

Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por  então det(A’) =  det(A)

• Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por  então det(A’) =  det(A)

• Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0

• det(A) = n det(A)

Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então

• Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então

• det(A) = det + det

A mesma propriedade para as colunas

• A mesma propriedade para as colunas

• det(AB) = det(A) det(B)

• A é invertível se e só se det(A)  0 (e se e só se car(A) = n)

• Se A é invertível então det(A-1)=

Operações tipo I

• Operações tipo I

• Trocando duas linhas o determinante muda o sinal

• EXEMPLO

Operações tipo II

• Operações tipo II

• Multiplicar uma linha por um escalar não nulo

• EXEMPLO

Operações tipo III

• Operações tipo III

• Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar

• EXEMPLO

Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij

• Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij

• Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por

Para cada linha k:

• Para cada linha k:

• Para cada coluna j:

O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1;

• O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1;

• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;

• Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos:

• Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos:

• Matriz adjunta da matriz A:

• Matriz inversa de A: