1. Trigonometrik tenglamalar 3

Xususiy hollar



Tenglama ildizlarini topayotganda ekanligidan foydalanish mumkin.

3. 
   
   

Y uqoridagi formulalar o’rinli ekanligi 3-4-rasmlarda yaqqol tasvirlangan.

2. 
   Trigonometrik tenglamalarning ayrim turlari va ularni yechish usullari
   
   1. 
      Algebraik tenglamalarga keltiriladiga tenglamalar.
      

Bu turkumdagi tenglamalarga funksiya belgisi ostidagi bitta noma’lum ifodaga nisbatan faqat bir funksiyaga keltiriladigan tenglamalar kiradi.





Kabi tenglamalar algebraic tenglamalarga keltiriladigan tenglamalr hisoblanadi.




.



Tenglamalar ko’rinishidan algebraic tenglamalr bo’lmasada, ularni ham algebraic tenglamalarga keltirish mumkin:

































o



Ko’rsatilgan oraliqqa tegishli ildizlar soni k ga tegishli qiymatlar berib yoki trigonometrik doira tasviridan foydalanib topiladi:

Javob: 2ta

2. 
   Bir jinsli tenglamalar.
   

Bunday tenglamalarning barcha hadlarida ning daraja ko’rsatkichlari yig’indisi bir xildir. Bu yig’indi bir jinsli tenglamaning darajasi deyiladi. Keltirilgan tenglamalar mos ravishda birinchi, ikkinchi uchinchi darajali tenglamalardir. Bunday tenglamalar bo’lib yuborish natijasida ga nisbatan algebraik tenglamaga keltiriladi.
shaklidagi tenglama o’ng tomonini
ga ko’paytirish yordamida bir jinsli tenglama shakliga keltiriladi.











Yechilishi: Bunday tenglamalarni yechishda tenglamaning ikkala qismi bo’linadi. Tenglamani noma’lum miqdor tarkibida bo’lgan ifodaga bo’lganda ildizlar yo’qolishi mumkin. Shuning uchun tenglamaning ildizlari bo’lish bo’lmasligini tekshirib ko’rish kerak. Agar bo’lsa, berilgan tenglamadan ekanligi kelib chiqadi. Lekin lar bir vaqtda nolga teng bo’la olmaydi. Demak, berilgan tenglamani ga bo’lishda tenglama ildizlari yo’qolmaydi. Shunday qilib,

3. 
   Ko’paytuvchilarga ajratib yechiladigan tenglamalar.
   

Ko’pgina trigonometric tenglamalarni yechishda algebraic ifodalarni ko’paytuvchilarga ajratishning umumiy ko’paytuvchini qavsdab tashqariga chiqarish, guruhlash usuli bilan ko’paytuvchilarga ajratish, qisqa ko’paytirish formulalaridan foydalanib ko’paytuvchilarga ajratish kabi usullardan foydalaniladi.

Yechilishi: ni tenglamaning chap qismiga o’tkazib, darajani pasytirish formulasidan foydalanamiz va hosil bo’lgan ifodani ko’paytuvchilarga ajratamiz:

1. 
   
   

2. 
   
   

Yechilishi: Tenglamani uning chap qismini ko’paytma shakliga keltirib yechamiz:






Javob: 7ta

4. 
   Bir ismli trigonometric funksiyalarning tenglik shartlaridan foydalanib yechiladigan tenglamalar.
   

Bunday tenglamalarni yechish bir ismli trigonometric funksiyalarning tengligi shartlariga, ya’ni α va 𝛽 burchaklarning
1-teorema. Ikki burchakning sinuslari teng bo’lishi uchun quyidagi shartlardan birining bajarilishi zarur va yetarlidir: bu burchaklar ayirmasi π ni juft songa ko’paytirilganiga teng bo’lishi kerak yoki bu burchaklar yig’indisi π ni toq songa ko’paytirilganiga teng bo’lishi kerak, ya’ni
2-teorema. Ikki burchakning kosinuslari teng bo’lishi uchun quyidagi shartlardan birining bajarilishi zarur va yetarlidir: bu burchaklar ayirmasi yoki yig’indisi π ni juft songa ko’paytirilganida teng bo’lishi kerak, ya’ni
3-teorema. Ikki burchakning tengenslari teng bo’lishi uchun quyidagi ikki shartning bir paytda bajarilishi zarur va yetarlidir: bu ikki burchakning tangenslari mavjud bo’lishi va bu burchaklar ayirmasi 𝜋 ni butun songa ko’paytirilganiga teng bo’lishi kerak, ya’ni

1. 
   
   
2. 
   
   

Ikki burchak kosinuslarining tenglik shartlaridan foydalanamiz:

1. 
   
   
2. 
   
   

Ko’rinishga keltirib, ikki burchak tangenslari tengligi shartidan foydalanamiz:

1. 
   Yordamchi burchak kiritish usuli.
   

Ma’lumki, agar bo’lsa, u holda shunday 𝜑 burchak mavjudki,



Hosil bo’lgan tenglama bo’lsagina yechimga ega:

2. 
   Ratsionallashtirish usuli. Bu usulga ko’ra
   

Tengliklar o’rinli ekanligidan
Belgilash yordamida

Tenglama keltiriladi. Agar

1. 
   
   
2. 
   
   

3. 
   
   

Bunday bir jinsli tenglamalarning yechilishi oldingi bandda bayon qilinganidek amalga oshiriladi.






Berilgan tenglamada quyidagi almashtirishlarni bajarish mumkin:

3. 
   Teskari trigonometric funksiyalar qatnashgan tenglamamalar.
   

Javob: 2; 4

4. 
   
   

tengsizlik belgilari bilan berilgan trigonometrik ifodalar trigonometric tengsizlik deyiladi. Trigonometrik tengsizliklarni yechish bu tengsizlikdagi noma’lumlarning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarini toppish demakdir. Trigonometric tengsizliklarni yechishda trigonometric funksiyalarning monotonlik xossalaridan va davriyligidan foydalaniladi.

Kabi tengsizliklar eng soda trigonometric tengsizliklar deyiladi. Faqat sinx yoki cosx qatnashgan tengsizliklarni yechish uchun bunday tengsizlikni uzunligi 2𝜋 bo’lgan biror oraliqda yechish yetarlidir. Barcha yechimlar to’plami kesmada topilgan yechimga 2k𝜋, k ϵ Z sonni qo’shib qo’yish yo’li bilan topiladi. Trigonometrik tengsizliklarni yechishda
Funksiyalarning grafiklaridan yoki birlik aylanadan foydalaniladi.

1. 
   
   

| sinx|≤1 bo’lganligi sababli quyidagi tasdiqlar o’rinlidir.
Agar:


Tengsizliklar yechimga ega emas.




Birlik aylanada abssissalar o’qiga parallel y=a to’g’ri chiziqni chizamiz. Bu to’g’ri chiziq birlik aylanani A va B nuqtalarda kesib o’tadi (5-ram). Rasmdagi chizmadan ko’rinib turibdiki, NM oraliqda y ning barcha qiymatlari a dan katta; birlik aylana AMB yoyining barcha nuqtalari a dan katta ordinataga ega, shuning echun sinx˃a tengsizlikning [0; 2𝜋] kesmadagi yechimlari (arcsina; 𝜋-arcsina) oraliqqa tegishli barcha x sonlar bo’ladi (6-rasm). Sinx ning davriyligini hisobga olsak, tengsizlikning butun sonlar o’qidagi yechimlari

Bundan buyon eng soda trigonometric tengsizliklarning yechimlarini topishga doir misollarda tengsizlik yechimlarini tasvirlovchi chizmalarni sharhlarsiz keltiramiz. O’qituvchilarga ularni mustaqil tahlil qilish tavsiya qilinadi.
sinx˃0 tengsizlikning yechimlar to’plami 2k𝜋˂x˂𝜋+2k𝜋, k ϵ Z
sinx˂0 tengsizlikning yechimlar to’plami 2k𝜋-𝜋˂x˂2k𝜋, k ϵ Z
















8-9-rasmlardan ko’rinib turibdiki, tengsizlikning [-π;π] kesmadagi yechimi x ning (-π-arcsina; arcsina) oraliqdagi qiymatlaridan , butun sonlar o’qida esa (2kπ-π-arcsina; 2kπ+arcsina), k ϵ Z oraliqdagi qiymatlar to’plamidan iborat.

Shunday qilib, sinx˂a tengsizlikning yechimlar to’plami

2k𝜋-𝜋-arcsina˂x˂2k𝜋+arcsina, k ϵ Z formula bilan ifodalanadi.







Berilgan tengsizlikka teng kuchli bo’lgan bu tengsizlikda sinx=y belgilash orqali yangi o’zgaruvchi kiritamiz va

Algebraic tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikning yechimi


Oraliqlardan iborat (11-rasm).

2. 
   cosx˃a, cosx˂a tengsizliklarni yechish.
   

|cosx|≤1 bo’lganligi sababli quyidagi tasdiqlar o’rinli.


Tengsizliklar yechimga ega emas.


Tengsizliklar x ning har qanday qiymatlarida bajariladi.
cosx>a (|a|˂1) tengsizlikning yechilishi

Birlik aylanada ordinate o’qiga parallel x=a to’g’ri chiziqni chizamiz. Bu to’g’ri chiziq birlik aylanani A va B nuqtalarda kesib o’tadi (12-rasm). A va B nuqtalarning absissalari a ga teng bo’lib, NP oraliqda x ning barcha qiymatlari a dan katta; birlik aylana BPA yoyining barcha nuqtalari a dan katta abssissaga ega. Shuning uchun cosx>a tengsizlikning [-𝜋;]kesmadagi yechimlari (-arccosa; arccosa) oraliqqa tegishli barcha x sonlar bo’ladi (13-rasm) cosx ning davriyligini hisobga olib tengsizlikning butun sonlar o’qidagi yechimlar to’plamini

Tengsizlikning yechimi 14-rasmda tasvirlangan.


Yechilishi. Cosx=y belgilash kiritamiz.





16-17-rasmlardan ko’rinib turibdiki, tengsizlikning [0;2𝜋] kesmadagi yechimi x ning (arccosa; 2𝜋-arccosa) oraliqdagi qiymatlaridan iborat. Cosx ning davriyligini hisobga olib tengsizlikning butun sonlar o’qidagi yechimlari to’plamini yozamiz:


Yechilishi. 2x ni α deb belgilasak, berilgan tengsizlik ko’rinishni oladi. Bu tengsizlikni birlik aylananing abssissasi dan kichik bo’lgan barcha nuqtalari qanoatlantiradi (18-rasm), shuning uchun tengsizlikning [0;2𝜋] kesmadagi yechimi




Endi x o’zgaruvchiga o’tib, berilgan tengsizlik yechimini yozamiz:

Berilgan tengsizlikka teng kuchli bo’lgan bu tengsizlikni yechish uchun cosx=y belgilash orqali yangi o’zgaruvchini kiritamiz. U holda

Bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar esa to’g’ri chiziqdan o’ngda, to’g’ri chiziqdan chapda yotadi (19-rasm). Birlik aylananing bu qismlariga mos keluvchi burchaklar oraliqlari berilgan tengsizlikning yechimlar to’plamidan iborat. Shunday qilib,

3. 
   
   

Bu tengsizliklar a ning har qanday qiymatlarida yechimga ega bo’lib, ularni yechishda ham birlik aylanadan yoki y=tgx, y=ctgx funksiyalarning grafiklaridan foydalaniladi.

B irlik aylana chizib, aylanaga (1;0) nuqtada urinma bo’lgan -tangenslar chizig’ini chizamiz (20-rasm).

Tangenslar chizig’ida ordinatalari a dan katta bo’lgan barcha nuqtalar AB nurda yotadi. Birlik aylananing bu nurga mos qismi 20-rasmda ajratib ko’rsatilgan. Birlik aylananing bu qismidagi har qanday nuqtada

Tengsizlik bajariladi. 21-rasmda bu yechim y=tgx funksiyaning grafigi orqali tasvirlangan, tengsizlikning butun sonlar o’qidagi yechimlari to’plamini yozamiz:



Yechilishi. Tengszilikni yechishda birlik aylanadan foydalanamiz. 22-rasmda ko’rinib turibdiki, tengsizlik oraliqda bajariladi. (tgx funksiya da aniqlanmagan). Tengsizlikning davriyligidan foydalanib, butun sonlar o’qi uchun yechimlar to’plamini yozamiz:

Bu tengsizlik 23-rasmda tasvirlangan birlik aylana va tangenslar chizig’ida ajratib ko’rsatilgan oraliqlarda bajariladi. Shu sababli tangensning davriyligini hisobga olib, tengsizlikning butun sonlar o’qidagi yechimlar to’plami

tengsizlikning yechimlar to’plami
tengsizlikning yechimlar to’plami









Yechilishi. Tgx=y belgilash orqali yangi o’zgaruvchini kiritamiz.

Bu tengsizlik yechimlari to’plamlarining birlashmasi

Bu sistemaning

Oraliqlar birlashmasidan iborat (24-rasm). Tangensning davriyligini hisobga olib berilgan tengsizlikning butun sonlar o’qidagi yechimlari to’plamini yozamiz:

Xulosa

Trigonometrik funksiya, tenglama, tengsizliklar matematika fanining barcha sohalarida keng qo’llaniladi. Bundan tashqari texnika, fizika, mexanika, astronomiya, tibbiyot sohalaridagi ko’plab masalalarni yechishda trigonometrik tenglama va tengsizliklar keltiriladi.
Shu nuqtai nazardan umumiy o’rta ta’lim, oliy va o’rta maxsus ta’lim yo’nalishlarda ushbu bitiruv trigonometrik tenglama va tengsizliklar mavzusidagi keltirilgan tenglama va tengsizliklar haqidagi fikr mulohazalar, mavzuga oid masalalarni yechish bilim va ko’nikmaga ega bo’lishda asosiy o’quv materiallaridan biri hisoblanadi.
Xulosa o’rnida bitiruv ishi mavzusi trigonometrik tenglama va tengsizliklarga oid keltirilgan ma’lumotlardan maktablarda, letsiylarda va kasb-hunar kollejlarida tadbiq etish mumkin