1-varyant super kengaytma funktori

Isbot: Agar x bo‘lmasa, u holda fazo (0,1) ga gomeomorfdir. va . Bu yerda (0,1) interval tortiluvchan fazodir.
Teorema Har bir uzluksiz akslantirish uchun uning tiklamasi mavjuddir.
Isbot: Aytaylik, ixtiyoriy uchun uchun shunday ochiq atrof bo‘lsinki, e^-1 to‘plam da diz’yunkt ochiq to‘plamlarning birlashmasidan iborat bo‘lsin va ularning har birini ga gomsomorf akslantirsin.
to‘plamni I to‘plamning ochiq qoplamasi ko‘rinishida yozishimiz mumkin. I kesmaning kompakt ekanligidan uning ko‘rinishdagi chekli qoplamasi mavjuddir, bu yerda . Har bir uchun bir nuqtani olamiz. Ular uchun o‘rinli bo‘lsin. Ravshanki, to‘plam ning ochiq to‘plamida yotib, bunda to‘plam ning diz’yunkt ochiq to‘plamostilarning birlashmasidan iborat bo‘lib, ularning har biri akslantirish natijasida ga gomeomorf akslanadi. Endi tiklanmani
bo‘yicha induksiya yordamida aniqlaymiz.

Bu akslantirish uzluksiz va tuzilishi bo‘yicha yagona hamda induksiyaga ko‘ra tiklanmaga ega bo‘ldik.
Bu teorema da yopiq yo‘lning darajasini ta’riflashda qo‘l keladi. nuqtadagi yopiq yo‘l bo‘lsin va uning yagona tiklanmasi bo‘lib, bo‘lgani uchun (1) ─ butun son. Shu son ning darajasi deyiladi.
Lemma Har bir akslantirish tiklanmaga ega. Vaholanki, agar va bo‘lsa, u holda shunday yagona tiklanma mavjudki, uning uchun bo‘ladi.
Isbot: Oldingi teorema isbotidagi mulohazalarni davom ettiramiz. kvadrat kompakt bo‘lganligi tufayli va sonlarni shunday tanlaymizki, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

, bu yerda to‘g‘ri to‘rtburchak,
to‘plam S¹dagi ochiq to‘plam, u uchun . Bu dagi ochiq to‘plamlarning diz’yunkt birlashmasi bo‘lib, ularning har biri natijasida S_ij ga gomeomorf akslanadi. Bu yerda to‘g‘ri to‘rtburchaklardagi tiklanma induksiya bo‘yicha oldingi teoremaga o‘xshab aniqlanadi. Qolgan ba’zi (isbotning) qismlarni tiklash o‘quvchiga havola.