16-mavzu. Ko’p o’zgaruvchili funksiya xususiy hosilalari. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. Reja

5² y

(2)

5² y

(3)

5 ²y

(4)

5 ²y

5x² 5z^{2 v} ' 5x5z ^{v 7} 5z5x
(3) va (4) xususiy hosilalar doimo bir-biriga teng, ya’ni
₌ 3^
5z5x 5z5x
Misol. Ishlab chiqarish funktsiyasi uchun, to’rtta ikkinchi tartibli xususiy hosilani keltirib chiqaring
Q = 6K + 0.3K² L + 1.2L² va ular qiymatini interpretatsiya qiling.
Yechish.
Ikkita birinchi tartibli xususiy hosila
^5Q = 6 + 0.6KL ^5Q = 0.3K² + 2.4L 5K 5K
va ular mahsulotlarning limitik MP_K va MP_L funktsiyalaridan iborat.
To’rtta ikkinchi tartibli xususiy hosila quyidagidan iborat:
(1) Щ = 0.6L ^V ’ 5K²

Bu MP_K funktsiyaning og’ishidan iborat. Bu shundan iboratki, ixtiyoriy berilgan L ning qiymatlari uchun, funktsiya grafigi doimo og’ishdan iborat, agar L o’ssa bu funktsiya o’sadi.

(2)

6²Q
5l2

= 2.4

Bu funktsyaning og’ishini bildiradi va to’g’ri chiziqning og’ishi 2,4 ga tengdir. Bu og’ish K ning qiymatiga bog’liq emas.

(3)

5Q_
5K 5L

0.6K

Bular shuni ko’rsatadiki, agar L o’ssa, MP_K o’sadi. L ning o’sishi bilanMP_K ning o’sishi Kning miqdoriga bog’liq.

(4)

5 ²Q 5L5K

0.6K

Bu shundan iboratki, agar K o’ssa MP_L ham o’sadi, bu esa Kning miqdoriga bog’liq. Shuning uchun, grafikning og’ishi 2,4 ga teng bo’lsa ham uning holati Kning miqdoriga bog’liqlir. Ikkinchi tartibli xususiy hosila tadbiqining boshqa ko’rinishlari quyida keltirilgan.³
Demak, ixtiyoriy ikkita bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchidan iborat bo’lgan funktsiya uchun, to’rtta ikkincha tartibli xususiy hosila mavjud bo’lar ekan:
Z = f (x^ x₂,...,x_n) ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning barcha x_i argumentlariga Ax, orttirma beramiz, u holda funksiya quyidagi A z orttirmani
Az = ^f(xi +^Axi, ^X2 +^Ax2,—, ^xn +^Axn )-^f(xu ^x2... ^xn ⁾
tosil qiladi. Bu огШта funksiyaning to‘liq orttirmasi deyiladi. А§аг Z = f (x_l3 x₂,...,x,x_n) funksiyaning faqat i- aгguшenti bo‘lgan x_t o‘zgaruvchiga
Ax, oгttiгшa beгib, qolgan o‘zgaruvchilarni o‘zgarmas deb qarasak, u tolda funksiya hosil qilgan oгttiгшa A_xz quyidagicha aniqlanib,
^A x^z = ^{f (x}i. ^x2... ^xi-l> ^xi ^{+ Ax}i . ^xi+l... ^xn ^{)-f (x}i. ^x2... ^xi ... ^xn ⁾
bu огШта funksiyaning хususiy oгttiгшasi deyiladi.
Masalan, z = xy funksiyaning to‘liq va хususiy oгttiгшalaгini topaylik:
Az = (x + Ax)( y + Ay) - xy = x -Ay + y - Ax + Ax - Ay A_x z = (x + Ax) - y - xy = y - Ax,
Ayz = x -(y + Ay)- xy = x - Ay
Ta’rif. Z = f (x, x₂,...,x) kop oZgaruvchili funksiyaning x o'zgaruvchisi bo ‘yicha xususiy hosilasi deb, x o ‘zgaruvchidan boshqa o ‘zgaruvchilarni o'zgarmas deb qaraganda hosil bo'lgan bir o'zgaruvchili, ya’ni x -o'zgaruvchili
Oz Of
funksiyaning, x -o'zgaruvchi bo'yicha olingan hosilaga aytilib, —,— yoki f

Q₂ = AK ^aL^p 4
Qi = AK?L^P. 4
Q₂ = AK₂L{ = A(AK)^a (AZ)^P = A^a+PAK*L^P = A^a+PQ 4
C— dx 2 9
(1) 10
(2) 10
(3) 10
(4) 10
(2) 10