19-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash. Ikki oʻlchovli integralda oʻzgaruvchini almashtirish. Kutb koordinatalarda ikki oʻlchovli integral

1–misol. ikki karrali integralni hisoblang. Bunda to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan to‘g‘ri to‘rtburchak.
Yechish.

2-Misol. integralni hisoblang.
Bunda to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan to‘g‘ri to‘rtburchak.
Yechish.

1.3. Soha egri chiziq bilan chegaralangan hol. D soha yon tomonlaridan x=a va x=b to‘g‘ri chiziqlar, quyidan , yuqoridan chiziqlar ( va lar [a;b] kesmada uzluksiz) bilan chegaralangan yopiq soha bo‘lsin (3-rasm).

3-rasm
Bunday sohani 1-tip sodda soha deymiz. D sohaning chegarasi nol o‘lchovli chiziq, ya’ni kvadratlanuvchi. va funksiyalar [a;b] yopiq oraliqda uzluksiz bo‘lganliklari uchun ular shu oraliqda eng kichik va eng katta qiymatlarga ega. funksiyaning eng kichik qiymati c, funksiyaning eng katta qiymati d bo‘lsin. D soha to‘g‘ri to‘rtburchakda to‘la joylashgan (4-rasm) sohada aniqlangan quyidagi funksiyani tuzib olamiz:

4-rasm

Bu funksiya sohalarning har birida integrallanuvchi, chunki funksiya sohaning va (nol o‘lchovli) chiziqlardan boshqa nuqtalarida uzlulksiz. va 3-§, 6º ga binoan

-to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lgani uchun oldingi teoremaga binoan
tenglikka ega bo‘lamiz.
funksiyaning aniqlanishiga asosan, va bo‘lib, ga ega bo‘lamiz.
Bu tengliklardan
(5)
tenglikni hosil qilamiz.
Agar soha chiziqlar ( lar [c,d] oraliqda uzluksiz va ) va y=c, y=d to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan soha bo‘lsa, bunday soha 2-tip soha deyiladi. Yuqoridagi mulohazalardan foydalanib
(6)
tenglikni isbotlash mumkin.
Agar soha ham 1-tip, ham 2-tip soha bo‘lsa, u holda (5) va (6) tengliklarni ikkalasi ham o‘rinli bo‘ladi.

Ba’zida D soha 1-tip soha ham, 2-tip soha ham bo‘lmasligi mumkin. Bunday holda D sohani birinchi va ikkinchi tip sohalarga ajratib, keyin integrallashni bajarish mumkin (5-rasm).

5-rasm
3-misol. integralni hisoblang, bu yerda to‘g‘ri chiziqlar va parabola bilan chegaralangan soha (6-rasm).

6-rasm
Yechish. Bu yerda D ham 1-tip, ham 2-tip soha bo‘lganligi uchun integralni (5) formula bo‘yicha ham, (6) formula bo‘yicha ham hisoblash mumkin.
(5) formula bo‘yicha hisoblaylik.

(6) formula bo‘yicha hisoblaylik.