Pratik hayatta, her bir ana kütle elemanın ölçülmesini gerektiren bir ana kütle standart sapma değeri bulmak, bazı çok nadir haller dışında (örneğin standart hale getirilmiş mekanik test etme), hiç realistik değildir. Nerede ise her halde, ana kütleden bir rastgele örneklem alınır ve bu örneklemden ana kütle standart sapması için bir kestirim değer bulunur.
Bu kestirim, çok kere örneklem standart sapmasını ana kütle standart sapmasının aynı olan bir formülü kullanmak suretiyle yapılır: Bu kestirim, çok kere örneklem standart sapmasını ana kütle standart sapmasının aynı olan bir formülü kullanmak suretiyle yapılır:
Burada örneklem değerleri ve örneklem ortalamasıdır. Bölen değer olan N − 1 vektörü içinde bulunan serbestlik derecesi olur.
Bu belki bir bakıma uygundur; çünkü eğer bir ana kütle varyansının kavramsal olarak var olduğu biliniyorsa ve örneklem için ana kütleden her eleman çekiminden sonra bu eleman geri konulursa, bilinmektedir ki örneklem varyansı (yani s2) ana kütle varyansı (yani σ2) için bir yansız kestirim olur. Bu belki bir bakıma uygundur; çünkü eğer bir ana kütle varyansının kavramsal olarak var olduğu biliniyorsa ve örneklem için ana kütleden her eleman çekiminden sonra bu eleman geri konulursa, bilinmektedir ki örneklem varyansı (yani s2) ana kütle varyansı (yani σ2) için bir yansız kestirim olur.
Ancak bu standart sapmalar için doğru değildir ; yani yukarıdaki gibi bulunan örneklem standart sapması (s) ana kütle standart sapması (σ) için yansız kestirim değeri değildir ve s ile ana kütle standart sapması biraz daha küçükçe tahmin edilir. Ancak bu standart sapmalar için doğru değildir ; yani yukarıdaki gibi bulunan örneklem standart sapması (s) ana kütle standart sapması (σ) için yansız kestirim değeri değildir ve s ile ana kütle standart sapması biraz daha küçükçe tahmin edilir.
Eğer rassal değişken normal dağılım gösteriyorsa, bu yansız olan kestirim pratikte çok kolay olmayan bir dönüşüm ile elde edilebilmektedir. Ayrıca zaten bir kestirim için yansız olmak karakteri her zaman çok istenir bir özellik değildir. Çok kullanılan diğer bir kestirim ise benzer bir ifade ile şöyle verilir. Eğer rassal değişken normal dağılım gösteriyorsa, bu yansız olan kestirim pratikte çok kolay olmayan bir dönüşüm ile elde edilebilmektedir. Ayrıca zaten bir kestirim için yansız olmak karakteri her zaman çok istenir bir özellik değildir. Çok kullanılan diğer bir kestirim ise benzer bir ifade ile şöyle verilir.
olur. Eğer ana kütle normal dağılım gösteriyorsa, bu şekildeki kestirim yansız kestirimden her zaman biraz daha küçük ortalama hata karesi gösterir ve bu nedenle normal için maksimum olabilirlik kestirimi olur.
Sürekli olasılık dağılımları için genellikle standart sapma değerinin dağılıma özel olan parametreleri kullanılarak hesaplanması için formül vardır. Genel olarak ise, p(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu olan bir sürekli rassal değişken olan X için standart sapma şöyle verilir: Sürekli olasılık dağılımları için genellikle standart sapma değerinin dağılıma özel olan parametreleri kullanılarak hesaplanması için formül vardır. Genel olarak ise, p(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu olan bir sürekli rassal değişken olan X için standart sapma şöyle verilir:
Belli bir seri sayı için standart sapma değerini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gösterdiğini anlamaktır. Standart sapmanın büyük olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; küçük bir standart sapma ise ortalama etrafında daha çok yakın gruplaştıklarını gösterir. Belli bir seri sayı için standart sapma değerini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gösterdiğini anlamaktır. Standart sapmanın büyük olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; küçük bir standart sapma ise ortalama etrafında daha çok yakın gruplaştıklarını gösterir.
Standart sapma belirsizliğin bir ölçüsü olarak hizmet edebilir. Fiziksel bilimlerde, tekrar tekrar yapılan deneyler ve deneylerde alınan ölçüler ise gösterilen standart sapma olduğu bu deneyin ölçülmesindeki kesinlik ve doğruluğunu gösterir. Standart sapma belirsizliğin bir ölçüsü olarak hizmet edebilir. Fiziksel bilimlerde, tekrar tekrar yapılan deneyler ve deneylerde alınan ölçüler ise gösterilen standart sapma olduğu bu deneyin ölçülmesindeki kesinlik ve doğruluğunu gösterir.
Ölçümlerin teoriye dayanan bir tahmin ile karşılaştırıp birbirine uygunluk gösterip göstermediğine karar vermede ölçümlerin standart sapması önemli rol oynar. Eğer ölçümlerin standart sapması teorik tahminden çok daha uzaksa, sınanan teorinin değiştirilmesi gerekir. İşte bu uzaklık standart sapmalarla belirlenir. Ölçümlerin teoriye dayanan bir tahmin ile karşılaştırıp birbirine uygunluk gösterip göstermediğine karar vermede ölçümlerin standart sapması önemli rol oynar. Eğer ölçümlerin standart sapması teorik tahminden çok daha uzaksa, sınanan teorinin değiştirilmesi gerekir. İşte bu uzaklık standart sapmalarla belirlenir.
Dostları ilə paylaş:
|
