Burada kullanılacak regresyon fonksiyonu her bağımsız değişkenin bağımlı değişkenle doğrusal bir ilişkisi olduğu kabul edilerek;, Burada kullanılacak regresyon fonksiyonu her bağımsız değişkenin bağımlı değişkenle doğrusal bir ilişkisi olduğu kabul edilerek;,
y = a + b1* x 1 + b2 * x2 + …………..+ b n * x n şeklindedir.
Bu fonksiyondan yararlanarak değişkenler arasında bulunduğu varsayılan gerçek çoklu ilişkinin bir tahmini aşağıdaki fonksiyon yardımıyla yapılmaktadır. Bu fonksiyondan yararlanarak değişkenler arasında bulunduğu varsayılan gerçek çoklu ilişkinin bir tahmini aşağıdaki fonksiyon yardımıyla yapılmaktadır. y = α + β1* x 1 + β 2 * x2 + …………..+ β n * x n
Bu fonksiyondaki katsayıların hesabı için en küçük kareler yönteminden yararlanarak gerçek y değerleri ile teorik y değerleri arasındaki farklar minimize edilecektir. Bu fonksiyondaki katsayıların hesabı için en küçük kareler yönteminden yararlanarak gerçek y değerleri ile teorik y değerleri arasındaki farklar minimize edilecektir. Σ ( yi - ( α + β1* x 1i + β 2 * x2i ) )2
Üç değişkenli bir modelde her noktanın üç koordinata sahip olduğu ve bir yüzey hesaplanacağı için denklem bir doğru denklemi olmayıp yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi en küçük kareler yüzeyidir. Burada da gerçek y değerleri (yi ) ile teorik y değerleri arasındaki uzaklıkların farklarının kareleri toplamı minimum yapılacaktır. Üç değişkenli bir modelde her noktanın üç koordinata sahip olduğu ve bir yüzey hesaplanacağı için denklem bir doğru denklemi olmayıp yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi en küçük kareler yüzeyidir. Burada da gerçek y değerleri (yi ) ile teorik y değerleri arasındaki uzaklıkların farklarının kareleri toplamı minimum yapılacaktır.
En küçük kareler yöntemi ile üç katsayı şu şekilde hesaplanacaktır: En küçük kareler yöntemi ile üç katsayı şu şekilde hesaplanacaktır: n n Σ x 1 --- Σ x 1i , Σ x 1* x2 --- Σ x 1i x2 i , i=1 i=1 n Σ x 1* y --- Σ x 1i* y i i=1
şeklinde alınarak; şeklinde alınarak; Σ y = n*a + b1* Σ x 1 + b2 * Σ x 2 Σ x 1* y = a* Σ x 1 + b1* Σ x12 + b2 * Σ x 1* x 2 Σ x 2* y = a* Σ x 2 + b1* Σ x 1* x 2 + b2 * Σ x22
Örnek: Aşağıdaki veriler bir çeşit alaşımdan yapılan çubukların kırılma testleri için bükülme sayıları ile alaşıma giren elementlerin yüzdelerini göstermektedir. Örnek: Aşağıdaki veriler bir çeşit alaşımdan yapılan çubukların kırılma testleri için bükülme sayıları ile alaşıma giren elementlerin yüzdelerini göstermektedir.
n = 16 , Σ x 1= 40 , n = 16 , Σ x 1= 40 , Σ x 2 = 200, Σ x12 = 120, Σ x 1* x 2 = 500, Σ x22 = 3000 Σ y = 733 , Σ x 1* y =1989 , Σ x 2* y = 8285
10 40 200 a 733 40 120 500 b1 = 1989 200 500 3000 b2 8285
Çözüm sonunda katsayılar aşağıdaki gibi çıkmaktadır: Çözüm sonunda katsayılar aşağıdaki gibi çıkmaktadır: a= 48.187 , b1 = 7.825 , b2 = - 1.755
gözlemlerden elde edilen veriler için tahmin edilen denklem:
y ≈ 48.2 + 7.83* x 1- 1.76* x 2 şeklindedir.
Bazı x 1ve x 2 değerlerini yukarıdaki denklemde yerine koyarak tahmin edilen y değerlerine bakalım: Bazı x 1ve x 2 değerlerini yukarıdaki denklemde yerine koyarak tahmin edilen y değerlerine bakalım: x 1= 1 , x 2 = 10 y= 38.43 olarak bulundu, gerçek değer y= 40
Buradan hareket ederek değişkenlerin tabloda olmayan değerlerini de tahmin edebiliriz: Buradan hareket ederek değişkenlerin tabloda olmayan değerlerini de tahmin edebiliriz: örneğin x 1= 2.5 , x 2 = 12 alındığında y= 46.7 olarak tahmin edilebilmektedir. x 1>x 2 olduğu için alaşımdaki x 1 yüzdesinin bükülme sayısını daha fazla arttıracağı söylenebilir.
x 1 ve x 2 aynı birimlerle ifade edilebiliyorsa hangisinin y değişkenini daha fazla etkileyebileceği anlaşılabilir. Bağımsız değişkenlerin farklı birimlerde olduğu durumlarda karşılaştırma yapabilmek için standart kısmi regresyon katsayılarını hesaplamak gerekir. |
