2. 3-§. Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar

х1	х2	х3
…
Ehtimolliklar	p1	p2	p3	…

Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek,
p_k  P{  x_k }  0,
_ p_k  1.

68

Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini – uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.

Bu tipga taqsimoti
P_ (B)
ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun quyida

keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan  tasodifiy miqdorlar kiradi:
P_{ } B_  P _  B_  _ f _ x_dx,
B

bu yerda

f (x)  0,

_ f (x)dx  1.


P_ (B)
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.

O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha x  R lar uchun

x
F_ (x)  _

f (u)du

ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi

(zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya uchun

_{f (x) } dF (x)
dx

tenglik o‘rinli.

Masalan, _a, ² _
bo‘ladi:
parametrli normal qonun uchun zichlik funksiyasi quyidagicha

(х) 
_( xa )<sup>2

1</sup> 2
_e 2 _.

 (x)
zichlik funksiyasi x  a
nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning

grafigi x  a
to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun

Ox o‘q gorizontal asimptota, x  a  
nuqtalar bu funksiyaning bukilish

nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga  parametrning ta’sirini

ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda  (x)

ning a=0 va 1)

 ²  ¹ ,
4
2)  ²  1, 3)
 ²  4

bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
69

Agar
a  0
bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday ko‘rinishga

ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.




10-Rasm
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz, barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng, ya’ni deyarli

barcha nuqtalarda
F^(x)  0 bo‘lib,
F ()  F ()  1 tenglik o‘rinli.

Тaqsimot funksiyalarining mumkin bo‘lgan tiplari haqida boshqa to‘хtalmay, haqiqatda taqsimot funksiyalar yuqorida keltirilgan uchta tip bilan chegaralanishi haqidagi mulohaza bilan kifoyalanamiz. Aniqroq aytganda,

iхtiyoriy
F (x)
taqsimot funksiyasini
70

F (x)  c₁F₁ (x)  c₂ F₂ (x)  c₃ F₃ (x)

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda
c_i  0,
c₁  c₂  c₃  1,
F₁ (x)

• 
  diskret
  

taqsimot funksiya,
F₂ (x)

• 
  absolyut uzluksiz taqsimot funksiya,
  

F₃ (x)

singulyar taqsimot funksiya.