6-Ma’ruza. Xususiy hosilali differentsial tenglama haqida tushuncha matematik fizikaning asosiy tenglamalari

Ta’rif: (9) tenglama (3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Ta’rif: (9) tenglamaning integrallari esa (3) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
(9) tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:
, (10)
. (11)
(9) yoki (10) va (11) yordamida berilgan (3)-tenglamaning xarakteristikalari topiladi.
Ta’rif: Agar qandaydir sohada bo‘lsa, (3) tenglama giperbolik turga qarashli, agar sohada bo‘lsa, berilgan (3) tenglama elliptik turga qarashli, agar sohada bo‘lsa, parabolik turga qarashli deyiladi.
Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab (3) tenglamani quyidagi kanonik ko‘rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.
(giperbolik turda), yoki .
(elliptik turda), .
(parabolik turda) .
Bu yerda soddalashtirish natijasida hosil bo‘lgan funksiya.
Tebranish, issiqlik tarqalishi, statsionar tenglamalar.
a) Mexanikaning (tor, sterjen, membrana, uch o‘lchovli hajimlarning tebranishlari), fizikaning (elektr tebranishlar) ko‘p masalalari
(12)
ko‘rinishdagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi noma’lum funksiya ta fazoviy koordinatalarga hamda vaqitga bog‘liqdir. - muxitning xossalari bilan aniqlanadi. esa tashqi ta’sirning intensivligini aniqlaydi (5) tenglamada
va agar -bo‘lsa

demak

b) Issiqlik tarqalish yoki muhitda zarrachalarning diffuziya jarayonlari
ushbu umumiy differensial tenglama bilan ifodalanadi
(13)
e) Statsinar tenglamalar. Statsionan ya‘ni vaqtga bog‘liq bo‘lmagan
jarayonlar uchun , (5) tebranish hamda (6) diffurziya tenglamalar ushbu
ko‘rinishda bo‘ladi.
Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi
sinfdan shunday funksiya topilsinki, bu funksiya , da tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:
bu yerda - berilgan funksiyalar.
Bu masalaga issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshining klassik masalasi deyiladi.
Agar funksiya va uning barcha ikkinchi tartibigacha hosilalari har bir sohada chegaralangan, funksiya chegaralangan bo‘lsa, u vaqtda Koshining klassik masalasining yechimi mavjud, yagona va quyidagi Puasson formulasi orqali topiladi:
. (1)
Quyidagi formuladan ham foydalansa bo‘ladi:
. (2)
Masala. ut=4uxx+t+et, u|t=0=2. Koshi masalasini yeching.
Ushbu misolni yechish uchun (1) formuladan foydalanamiz. Bizning holimizda , , - berilganlar. Shu qiymatlarni (1) formulaga etib qo‘yamiz:
, (3)

bu yerda va Integralarni alohida-alohida hisoblaymiz.

demak, .
- bu integralni hisoblashda ham yuqoridagi kabi fikr yuritib, hisoblashlarni bajaramiz va quyidagi natijani olamiz: . Ikkala integralni etib (3) ga qo‘yamiz, natijada quyidagi yechimni olamiz: .



torning ko’ndalang tebranishi, sterjinning bo’ylama tebranishi, provoddagi elektr tebranishi, valning aylanma tebranishi, gazning tebranishi va boshsa turli amaliy masalalarni echishda bu tenglamaga kelinadi. Bu tenglama oddiy giperbolik tenglama hisoblanadi.
Issiqlik o’tkazuvchanlik yoki Fure tenglamasi.

Bu tenglamaga issiqlik tarqalishi, suyuqlik va gazlarning filtrlanishi, ehtimollik nazariyasining ba'zi masalalarini o’rganish borasida duch kelamiz. Bu tenglama oddiy parabolik turdagi tenglamaga misol bo’ladi.
Laplas tenglamasi.

Bu tenglamaga, elektr va magnit maydoni masalalari, gidrodinamika masalalari, diffuziya masalalari va hakozalarni o’rganishda duch kelinadi. Bu tenglama elliptik turdagi tenglamadir.
Chegaraviy masalaning qo’yilishi.
u

M М1

M2 х
1-chizmа.
Matematik fizikada tor deganda, cheksiz ingichka ipni tushunamiz, u erkin egilishi va faqat cho’zilishga ishlashi mumkin. Vaqtning ixtiyoriy momentida torda hosil bo’luvchi kuchlanish, unga o'tkazilgan urinma bo’ylab yo'nalgan. Faraz qilaylik tor 1-chizmadagi kabi joylashgan va uning uchlari x=0 va x=l nuqtalarda mahkamlangan bo’lsin.
Torning boshlang’ich nuqtasiga biror tezlik berilsa, yoki ularning holatini boshlang‘ich holatidan chiqarilsa, u tebranadi. Asosiy masala tor formasini vaqtning ixtiyoriy qiymatida aniqlash va uning ixtiyoriy nuqtasi harakatini vaqtga bog’liqligini o’rganishdan iborat.
Torning juda kichik tebranishini qaraylik, vaqtning ixtiyoriy qiymati t da uning holati u(x;t) funksiya bilan aniqlanadi va u torning x absissasi nuqtasini vaqtning t momentdagi ko’chishi kattaligini xarakterlaydi.
Torning juda kichik bo’lagi qaralayotgani uchun uning M1M2 bo’lagi kattaligi uning Ox o’qidagi proeksiyasi kattaligiga teng bo’ladi ya'ni M1M2 =x1-x2 , haqiqatdan ham

u
M’

 М 

x x+x x

2-chizma.

Torning tarangligi hamma yerida bir xil deb faraz qilib uni T deb belgilaylik. Torning MM'- elementni qaraylik. MM' elementning oxirlarida, torga urinmalar yo’nalishi bo’yicha T kuch ta'sir etadi. Urunmalar Ox o’qi bilan  va + burchaklar tashkil etsin. U holda MM' ga ta'sir etuvchi kuchlarning Ou o’qqa proektsiyasi Tsin (+) -Tsin gа teng bo’ladi.  burchak kichik bo’lgani uchun tgsin deb olib quyidagiga ega bo’lamiz.
Tsin(+) - Tsin  Ttg(+)-Ttg =



Bu erda 0<<1
Harakat tenglamasini olish uchun esa MM' elementga ta'sir etuvchi tashsi kuchlarni, inertsiya kuchlariga tenglash kerak.
Faraz qilaylik - torning chiziqli zichligi, u holda torning massasi (MM'da) x ga teng bo’ladi, elementning tezlanishi esa ga teng bo’ladi.
Dalamber printsipiga ko’ra, quyidagiga ega bo’lamiz

Bu tenglikni ikkala tomonini х ga bo’lib va T/ ni а2 orqali belgilab
(1) ni hosil qilamiz. Bu tenglama tor tebranish tenglamasidir