6-Ma’ruza. Xususiy hosilali differentsial tenglama haqida tushuncha matematik fizikaning asosiy tenglamalari

6-Ma’ruza. Xususiy hosilali differentsial tenglama haqida tushuncha. matematik fizikaning asosiy tenglamalari

REJA:

1. 
   Xususiy hosilali differentsial tenglama haqida tushuncha.
   
2. 
   Matematik fizikaning asosiy tenglamalari.
   
3. 
   Tor tebranish masalalari, issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasi.
   
4. 
   Matematik fizika tenglamalarini yechishning toʻr usuli.
   

Differensial tenglamalar deb, noma’lumi bir yoki bir necha o‘zgaruvchili funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga aytiladi.

Agar tenglamada noma’lum funksiya ko‘p o‘zgaruvchining (o‘zgaruvchi 2 tadan kam bo‘lmasligi kerak) funksiyasi bo‘lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif: erkli o‘zgaruvchining noma’lum funksyasi va funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari orasidagi bog‘lanishga, ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
Ta’rif: fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud qandaydir funksiya berilgan bo‘lsin ( ). U holda
(1)
tenglama umumiy holda berilgan xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Bu yerda - qandaydir funksiya.
Xuddi shunga o‘xshash ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
. (2)
Ta’rif: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi, agarda u yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko‘rinishga ega bo‘lsa:
. (3)
Ta’rif: Quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:
(4)
Ta’rif: Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma’lum funksiyaning o‘ziga nisbatan ham chiziqli bo‘lsa, ya’ni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsa,
(5)
Ushbu tenglamada - (5) tenglamaning koeffitsientlari, - (5) tenglamaning ozod hadi deyiladi va ular oldindan berilgan deb hisoblanadi.
Ta’rif: Agar (5) tenglamada bo‘lsa, u holda bu tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Aks holda, agar bo‘lsa, (5) tenglama bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama deyiladi.
Biz va erkli o‘zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya’ni
, (6)
berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo‘lgan va soddaroq ko‘rinishga ega bo‘lgan tenglamaga ega bo‘lishimiz mumkin.
Buning uchun (3) tenglamada va erkli o‘zgaruvchilardan yangi va o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:
(7)
(7) ifodalarni (3) tenglamaga keltirib qo‘yib, va o‘zgaruvchilarga nisbatan (3) tenglamaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi tenglamani olamiz:
, (8)
bu yerda
,
,
,