Abdullayev f. S., Mahkamov q. X

^xu	*xz	- x yo'nalish
UX	^u	^UZ	- u yo’nalish	(2.1)
Tzx	^zu		- z yo’nalish
x manzil	u manzil	z manzil

Har bir gorizontal qatorda bitta yo’nalishdagi kuchlanishlar

x, u, z ketma-ketlikda yozilgan. Har bir vertikal ustunda bitta
manzildagi kuchlanishlar o’sha ketma-ketlikda yozilgan. Shunday
qilib, uchta o’zaro perpendikulyar maydonchalarda to'qqizta
kuchlanish bor: uchta normal va oltita urinma.
Biroq, urinma kuchlanishlarning juftligi haqidagi ma’lum
qoida natijasida faqat oltita kuchlanish turli qiymatlar olishi
mumkin: uchta normal va uchta urinma, chunki
\u ^Tux ’ xz ^Tz.x ’ ^TZU (2'2)
ya'ni, ikkita bir xil harfli indeksga ega urinma kuchlanishlar
indeksdagi harflarning joylashish tartibiga bog’liq bo’lmagan holda
o'zaro teng bo’ladi.
Agar (2.2) tengliklarni hisobga olinsa, matrisada bosh dia-
gonalga nisbatan simmetrik joylashgan urinma kuchlanishlar
o'zaro juftlikda teng bo’lishini ko'rishi oson. Buni hisobga olib
matrisani soddalashtirib qayta yozish mumkin:



cy

T

xy



V

(2.1a)

2. 
   Qiya maydonchadagi kuchlanishlar
   

Belgilangan nuqtadan o’tuvchi, uchta o’zaro perpendikulyar
maydonchalardagi kuchlanishlar berilgan bo'lsa, uning kuchlangan
holati tamomila aniq ekanini isbotlaymiz.
Berilgan O nuqtadan koordinat o’qlariga qiya tekislik
o'tkazamiz. Natijada Oavs tetraedr geometrik shaklini olamiz.
Uning qirralari cheksiz kamayib borganda berilgan nuqta bilan
qo’shilib ketadi (20-rasm). N - tetraedr qiya yoqlariga normal
bo'lsin. Uning holati yo'naltiruvchi kosinuslar bilan aniqlanadi:
sosa = sos (N,x) = a_x;
sos0 = sos (N,y) = a_y;
cosy = cos (N,z) = a_z.
Qiya yoqning yuzasi AF, qolgan yoqlar ularning
joylashishiga mos ravishda AF_X, AF_y va AF_Z bo'lsin. Qiya yoqda
qandaydir S (to’liq) kuchlanish ta'sir etadi deb hisoblaymiz.
Koordinat maydonchalardagi kuchlanishlar berilgan S
kuchlanishning koordinat o'qlari yo'nalishiga proeksiyasi, yoki
o’shaning o’zi, S kuchlanishning koordinat o'qlari bo'yicha tashkil
etuvchilarini S_x, S_u va S_z bilan belgilaymiz.


c *

20-rasm. Qiya maydonchadagi kuchlanishlar.

Telracdr muvozanatda bo'lishi kerak. Barcha ta'sir etuvchi

kuchlarni koordinat o'qlariga proeksiyalab, muvozanat shartini
yozamiz:
Xprx ^{— S}x _AF - A^Fx ^{- X}xu A^Fu ^{- T}xz A^Fz
Ep„ - S_{y a}F - Tyx _aF_x - o_u aFu - Xy aFz = 0;
T- = S_{z A}F - t₂x aFx - t_zu aFu - a, aF_z = 0;
Ammo aFx = aF a_x; _AF_U = _aF a_u; _AF_Z = _aF a_z; U holda
^Sx ^Ax ^Ax ^{+ T}xy ^a_v ^{+ T}X2 ^Az’
Sd = Xyx Ax + O_va_y + Xyz a_z; (2.3)
^Sz = ^{tzx Ax + Xzy} T ^{+ A}z.-
S kuchlanish tashkil etuvchilarini parallelepiped qoidasi
bo’yicha yig’ib, to'liq S kuchlanishning o'zini ham olish oson:
S² = S_x² + S_y² + S_z² (2.4)
Qiya maydonchadagi cr_n normal kuchlanish S_x, S_y, S_z tashkil
etuvchilarning maydongacha bo’lgan normalga proeksiyalari
yig’indisi sifatida aniqlanadi:
cr_n = S_x a_x + S_y a_y + S_z a_z (2.5)
Qiymatlarini (2.3) tenglamadan olib qo'yib, ushbuni olamiz.
<*„ = ^a_x² + Y + + 2x_xya_xa_u + 2r_yz a_ya_z + 2r_zx a_z a_x (2.5a)
Qiya maydonchadagi r to’liq urinma kuchlanishni
parallelogramma qoidasi bo’yicha olamiz.
v = s² - (2.6)
Olingan formulalardan kelib chiqadiki, agar koordinat
maydonchalarida kuchlanish berilgan bo'lsa, u holda har qanday
qiya maydonchadagi kuchlanishni doimo aniqlash mumkin,
boshqacha aytganda, agar uchta o'zaro perpendikulyar tekislikda
ta'sir etayotgan oltita kuchlanish berilgan bo’lsa, nuqtaning
kuchlangan holati tamomila aniq bo'ladi.

3. 
   Bosh normal kuchlanishlar
   

o_n uchun olingan (2.5a) ifodali ko'rib chiqamiz. Qandaydir
qiya maydonchaga N normal yo’nalishi bo'yicha r vektor olamiz
(20 - rasm):

A²

ya’ni, ^— — 7" deb qabul qilamiz. Bu yerda A- masshtabni
aniqlovchi qandaydir ixtiyoriy doimiy.
Vektor uchining koordinatlari
x = ra_x;
y = ra_y;
z = ra_z bo’ladi.
X V z
Demak a_x = —; a =—; a₂ = —.
r r r
a ning bu qiymatlarini c_n uchun (2.5) ifodali qo’yib, va r ga
qisqartirib ushbuni olamiz.
A² = x² + o_y y² + o_z z² + 2r_xy xu + 2x_yz yz + 2t_zx zx (2.7)
Analitik geometriyadan ma'lumki, olingan tenglama ikkinchi
tartibli markazga keltirilgan (birinchi tartibli x, u, z yo’q) sirtdan
iboratligini ko’rsatadi.
Qiya maydonchaning holati o’zgarganda r vektor uchining
yo'nalishi va x, u, z koordinatlari o’zgaradi, ammo uning uchi
doimo (2.7) tenglama bilan aniqlanadigan sirtda yotadi. Bundan bu
sirt batamom nuqtaning kuchlangan holati bilan aniqlanishi kelib
chiqadi. U Koshi kuchlanishlar sirti nomini olgan.
Koordinat o'qlarining holati o’zgarganda, ya’ni ko’rsatilgan
sirtni boshqa koordinat o'qlariga ko'chirilganda, sirtning o’zi
o’zgarmay qoladi, faqat tenglama koeffitsientlarigina, ya’ni
koordinat maydonchalaridagi kuchlanish kattaligi o'zgaradi, chunki
bu maydonchalar endi boshqa bo'ladi.
Analitik geometriyadan ma'lumki, agar ikkinchi tartibli sirtni
faqat markazga emas, balki tutashgan diametrlarga, ya’ni o'qlarga
qo'yilsa, koordinata ko’paytmalaridagi koeffitsientlar nolga
aylanadi. (2.7) tenglama bilan aniqlanadigan sirt bilan ham xuddi
shunday qilish mumkin. Bu esa, kuchlangan holatda bo’lgan
nuqtadan doimo shunday uchta o’zaro perpendikulyar tekislik
o'tkazish mumkinki, ularda urinma kuchlanishlar bo'lmaydi va
faqat uchta normal kuchlanish qoladi demakdir. Bu uchta
kuchlanish bosh normal kuchlanishlar deb ataladi, ularning
yo’nalishi - bosh yo'nalishlar, ular ta'sir etayotgan tekisliklar esa
bosh tekisliklar deyiladi. Shunday qilib, koordinat o’qlarini bosh
yo’nalishlar (bosh o'qlar) ga parallel tanlab olinsa, unda mos
ravishdagi koordinat (bosh) tekisliklarida faqat normal (bosh)
kuchlanishlar ta'sir ko'rsatadi. Bundan kelib chiqadiki, nuqtaning
kuchlangan holati, agar uchta bosh o’q yo'nalishi va uchta bosh
kuchlanish kattaligi berilgan bo'lsa batamom ma’lum (tamomila
aniq) bo'ladi. Bosh kuchlanishlarni x, u, z o’rniga 1, 2, 3
indekslar bilan belgilaymiz:
CTi, Ct, Cj.
Shu indekslar bilan bosh o'qlar, shuningdek bu o'qlarga qiya
maydonchalarning yo'naltiruvchi kosinuslarini ham belgilaymiz.
Agar nuqtaning kuchlangan holati bosh kuchlanishlar bilan
berilgan bo'lsa, qiya maydonchalardagi kuchlanishlar (2.3), (2.4),
(2.5) va (2.6) formulalar asosida juda oddiy ifodalanadi. Koordinat
o'qlari bo'yicha tashkil etuvchilar:

	^S1 ^— ^l^l’ ^S2	— o2a2; o3— c^f3^a3;	(2.8)
To'liq	kuchlanish	ril 7 7 7 7 7 7 S= a“( a2 + ^a2 + a2	(2.9)
Normal	kuchlanish	cr = O! a^2, + a2 a^2, + a2	(2.10)
Urinma	kuchlanish	7 7 7 7 7 7 7 T= 52, a2 + a 2 »2+ a 3 a 3 - (c^a ^2 + a2a ^2 + a3a ^2)’.	(2.11)

4. 
   Kuchlanishlar tenzori haqida tushuncha
   

Nuqtaning kuchlangan holati (2.7) sirt bilan aniqlanishi
ilgari qayd etilgan edi. Bu kuchlangan holat skalyardan (son bilan
aniqlanuvchi) va vektordan (son va yunalish bilan aniqlanuvchi)
farqli ravishda tenzor kattalik ekanini bildiradi. Bu sirt, u bilan
birga kuchlangan holat ham koordinat maydonchalaridagi to'qqizta
kuchlanishlar bilan aniqlangani sababli, koordinat tekisliklarida
ta'sir etuvchi kuchlanishlar tasvirlangan (2.1) matrisaga alohida
ma'no berish mumkin, chunonchi shunday yozish mumkin:

			T XV
T :	= <	T	(J	T >
(7		VX	y	yz
		rxx k.

(2.12)

Tenglikning o'ng qismi tenzor tahlil nuqtai nazaridan 2-da-

rajali simmetrik tenzordan iboratdir. Bu yozuvni shunday
tushunish mumkin. Berilgan nuqtaning kuchlangan holati
qandaydir tashkil etuvchilarga ega kuchlanishlar tenzoriga teng.
Urinma kuchlanishlar jufti o'zaro teng va teng urinma
kuchlanishlar matrisada bosh diagonal (o_x, cr_u, oj)ga nisbatan
simmetrik joylashgani uchun, bunday qisqartirib yozish mumkin:

		T xy	^Txz
T_ =<	•	G	T f
cr		y	>2
	•	•	cr_

(2.12a)

kuchlanish tenzori

ushbu ko'rinishda yoziladi:
	°x	0	0 '
T =■	•	(T	0