Analitik geometriya elementlari

2- misol. Umumiy tenglamasi bilan berilgan aylana markazi C ning koordinatalarini va r radiusni toping:
9x² + 9y² + 36x - 18y + 20 = 0.
Berilgan tenglamani 9 ga hadlab bo'lamiz va o‘zgaruvchilami alohida guruhlaymiz:
Qavsdagi ifodalami to‘la kvadratga to‘ldiramiz:

Shunday qilib, berilgan aylana markazi C(—2;1) nuqtada bo'lib,radiusi r = 5/3.

Ellips
Ellips deb fokuslar deb ataluvchi ikkita tayinlangan nuqtagacha Bo’lgan masofalari yig'indisi o’zgarmas (2 a) bo‘lib, fokuslar orasidagi masofa (2 c) dan katta bo‘lgan nuqtalaming geometrik o’rniga aytiladi. Fokuslari F₁ va F₂ nuqtalar Ox o'qida joylashgan, koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrik ellipsning kanonik (sodda)
tenglamasi
ko’rinishda bo’ladi.

Ellipsning o‘z simmetriya o‘qlari (koorinata o‘qlari) bilan kesishish nuqtalari A₁ va A₂ va B₁ va B₂ , eliipsning uchlari deyiladi.A₁A₂ = 2a — katta o‘q, B₁B₂ =2b — kichik o‘q, jumladan, a - katta yarim o ‘q, b - kichik yarim o ‘q deb aytiladi. F₁ ( -c; 0),

F₂ ( c; 0) fokus nuqtalarining koordinatalarini topishda

tenglikdan foydalaniladi, bu yerda c — fokus nuqtalar orasidagi masofaning yarmi. Fokus nuqtalar orasidagi 2c masofaning katta 2a o'qqa nisbati ellipsning ekssentrisiteti deb yuritiladi. Ekssentrisitet

formula bilan hisoblanadi. Ravshanki, ɛ < 1.

Agar koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik ellipsning fokuslari Oy o‘qida yotadigan bo‘lsa u holda b > a bo'ladi va B₁B₂ = 2b - katta o‘q,
A₁A₂ =2a kichik o‘q bo‘ladi. Bunday ellipsning ekssentrisiteti

formula bilan hisoblanadi, bu yerda c² = b² – a².

Ellipsning ixtiyoriy M(x, y) nuqtasidan fokuslaigacha masofalari ellipsninig fokal radiuslari deyiladi. F₁va F₂ — fokuslargacha bo‘lgan fokal radiuslarni mos ravishda r₁ va r₂ orqali belgilasak, ular quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi.