Analitik geometriya elementlari

1- misol. 9x² + 25y² - 225 = 0 elhpsning uchlarini, o'qlarini, fokuslarini va ekssentrisitetini toping hamda ellipsni yasang.
Berilgan tenglamani (1) ko‘rinishidagi kanonik ko‘rinishga keltiramiz, buning uchun ozod hadni o‘ng tomonga o‘tkazamiz va tenglamaning barcha hadlarini unga bo'lamiz. Natijada
Hosil qilingan tenglikdan a = 5, b = 3 ni aniqlaymiz. Bu yerda ellipsning o‘qlari 2a = 10 , 2b = 6 , ucblarining koordinatalari esa
A ₁(-5; 0),A₂(5 ; 0), B₁(0 ;- 3) , B₂(0; 3).
Nihoyat bo‘lganligi uchun fokuslari F₁ (-4; 0), F₂(4; 2) nuqtalarda joylashgan ekan. Ellipsning ekssentrisiteti esa ɛ = 4 / 5 = 0 ,8 .Ellipsni yasash uchun to ‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida ellipsning uchlarini aniqlaymiz va bu nuqtalar orqali silliq egri chiziq yordamida ellipsning shaklini yasaymiz.
Giperbola
Fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtagacha masofalari ayirmasining absolut qiymati o'zgarmas (2 a) bo‘lgan va fokuslar orasidagi masofa (2 c) dan kichik bo‘lgan nuqtalaming geometrik o‘rni giperbola deb ataladi. Koordinata o‘qlariga nisbatan simmctrik bo‘lgan, fokuslari Ox o‘qida joylashgan giperbolaning kanonik sodda tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:

A₁(-a; 0) va A₂(a; 0) nuqtalar giperbolaning uchlari orasidagi 2a masofa giperbolaning haqiqiy o‘qi, B₁(0; -b), B₂(0; b) nuqtalar orasidagi 2b masofa giperbolaning mavhurn o ‘qi deb yuritiladi. Koordinatalar boshidan fokus nuqtagacha bo‘lgan masofa

formula yordamida hisoblanadi.Giperbolaning ekssentrisiteti deb, fokuslar orasidagi masofaning uning haqiqiy o‘qiga nisbatiga aytiladi:

Ravshanki, ɛ > 1.

Giperbola ikkita asimptotaga ega, ulaming tenglamalari
Giperbolaning M(x; y) nuqtasidan F₁ va F₂ fokuslarigacha bo'lgan r₁ va r₂ masofalar fokal radiuslari deb atalib, quyidagicha topiladi.