Aniq integralning tatbiqlari reja to’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash

Demak, Q   2 | 2| 4

Agar y  f x₁( ), y  f x₂( ) egri chiziqlar va x a ,x b ordinatalar bilan chegaralangan yuza f x₁( ) f x₂( ) shart bajarilganda
b b b
Q  f x dx₁( )  f x dx₂( ) [ ( )f x₁  f x dx₂( )] (2)
a a a
bo’ladi.


Misol 2. y_ x va y x_ ² egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani toping.


Yechish. Egri chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz: x x_ ²;x x_ ⁴, bu yerdan x₁ 0 va x₂ 1.
Demak,
Q10 xdx10 x dx² ^10( x x dx ²) ²₃x3² 10  ^x₃3 10   ₃2 1₃ ¹₃
Endi tenglamasi
x ( )t , y ( )t (3)
parametrik ko’rinishda bo’lgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini topamiz, bu yerda
  t va ( )  a, ( ) b.
(3) tenglamalar [a b, ] kesmada biror y  f x( ) funksiyani aniqlash va demak egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
b b
Q  f x dx( )  ydx

a a
formula bilan hisoblanishi mumkin.
B u integralda o’zgaruvchini almashtiramiz: x ( )t ,dx '( )t dt . (3) tenglamalar asosida topamiz:
y  f x( )  f[ ( )]t ( )t
Demak,
b
Q  ( )t '( )t dt (4)
a
Bu parametric ko’rinishda berilgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani yuzasini topish formulasidir.
Misol. Ellips bilan chegaralangan soha yuzini toping.
x acos ,t y bsint
Yechish. Ellipsning yuqori yarmi yuzasini topamiz va adan agacha o’zgaradi, demak, t dan 0 gacha o’zgaradi:
0 0 
Q  2 ( bsint)(asintdt) 2absin²tdt  2absin²tdt 
  0

 2ab^1 cos2 2t dt  2ab_2t  sin24 t_^0 ab
0
2. Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq
  f ( )
tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda f ( ) -     da uzluksiz funksiya.
  f ( ) egri chiziq hamda    ,  radius-vektolar bilan chegaralangan OAB sektorning yuzini topamiz.

Berilgan yuzani     ₀  ,  ₁,..., _n  radius-vektorlar yordamida n qismlarga ajratamiz. O’tkazilgan radius-vektorlar orasida burchaklari   ₁, ₂,...,_n bilan belgilaymiz.

_i1 va _i orasida joylashgan qandaydir _i burchakka mos kelgan radius-vektorning uzunligini _i bilan belgilaymiz.
1 ²

Radiusi _i va markaziy burchagi _i bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzasi  Q _i  _i  _i ga teng. Ushbu 2
Qn  1n  i 2 i 12in1[ (f  i )]2 i
2 i 1
esa “zinasimon” sektorning yuzini beradi.
Bu yig’indi     kesmada ²  [ (f _i)]² funksiya uchun integral yig’indi bo’lganligi uchun uning max _i 0 bo’lgandagi
limiti
1 2d 2

aniq integral bo’ladi. U biz _i burchakning ichida qaysi _i radius-vektorni olishimizga bo’gliq emas.
Shunday qilib, OAB sektorning yuzi
1 ²d (1)