Axborotni himoyalashning kriptografik usullari

Elliptik egri chiziqlar
Matematikada elliptik egri chiziqlarning xossalari va funksiyalari 150 yildan ortiq vaqt davomida o’rganilgan. Ulardan kriptografiya doirasida foydalanish birinchi marta 1985 yilda Vashington universitetidan Nil Koblits va IBM da Viktor Miller tomonidan alohida taklif qilingan. Elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptotizimlar birinchi marta mobil elektron biznes xavfsizligi provayderi Certicom tomonidan ishlab chiqilgan va keyin integral mikrosxemalar va tarmoq xavfsizligi mahsulotlarini ishlab chiqaruvchi Hifn tomonidan litsenziyalangan. 3Com, Cylink Corp., Motorola, Pitney Bowes, Siemens, TRW Inc. (Northrop Grumman tomonidan sotib olingan) va Verifone kabi sotuvchilar o’z mahsulotlarida Elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptotizimni qo’llab-quvvatladilar. Elliptik egri chiziqlar kubik egri chiziqlarning bir turi bo’lib, uning yechimlari topologik jihatdan torusga (1-rasm) ekvivalent bo’lgan fazo mintaqasi bilan chegaralangan.

Umumiy holatda kubik egri chiziqlarning dastlabki ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

Elliptik egri chiziq esa uning xususiy ko’rinishi bo’lgani uchun uning ko’rinishi quyidagicha:
Shuningdek, (2) tenglikning o’ng tomonini ko’paytuvchilarga ajratgan holda normal ko’rinishini yozish ham mumkin .
Umumiy holatda elliptik egri chiziqlarning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi(2-rasm).
Biroq (2) formulada a=0 bo’lsa va b=0 bo’lsa grafik ko’rinishi o’zgaradi(3.1-3.2-rasmlar).

Grafik ko’rinishi berilgan elliptik egri chiziqning diskerminantiga bog’liq hisoblanadi(4-rasm).
(4) – diskerminant formulasi.
Elliptik egri chiziqqa (EECH) asoslangan kriptografiya ma’lumotlarni shifrlash uchun kalitga asoslangan assimmetrik kriptotizimlar oilasiga kiruvchi muammo murakkabligiga ko’ra, Elliptik egri chiziqda diskret logorifmlash muammosining murakkabligiga asoslangan kriptotizim hisoblanadi.
(4)formuladagi diskerminant holatlar uchun EECH asoslangan kriptotizimlarda foydalaniladi. Elliptik egri chiziqlarda nuqtalar ustida amallar bajarishda geometrik nuqtai nazardan formularga asoslanib hisob-kitob ishlari amalga oshiriladi.