Axborotni himoyalashning kriptografik usullari

Geometrik nuqtai nazardan elliptik egri chiziq
Elliptik egri chiziq (E)da ixtiyoriy 2 ta P va Q nuqtalar tanlanib ulardan to’g’ri chiziq(L) o’tkazilganda ushbu to’g’ri chiziq elliptik egri chiziqni biror R nuqtada kesib o’tadi va shu R nuqtaning OX o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgan nuqtasi P va Q nuqtalarning elliptik egri chiziqda yig’indisiga teng hisoblanadi(5-rasm).

5-rasm. elliptik egri chiziqda nuqtalarning geometrik ko’rinishi
Agar 5-rasmda (L) to’g’ri chiziq elliptik egri chiziqqa P nuqtada urinma bo’lib o’tsa ham uni R nuqtada kesib o’tadi, biroq bunda Q nuqta ham P nuqtaga teng hiosblanadi(6-rasm).

6-rasm. elliptik egri chiziqqa urinma o’tkazish.
Agarda (L) to’g’ri chiziq OY o’qiga parallel bo’lsa, unda elliptik egri chiziqni kesib o’tuvchi ikki nuqta o’zaro bir biri bilan qarama-qarshi nuqtalar bo’ladi va bunda to’g’ri chiziq elliptik egri chiziqni uchinchi nuqtada kesib o’tmaydi yoki geometrik nuqtai nazardan olib qaralganda chiksizlikda kesib o’tadi deb hisoblanadi(7-rasm).

7-rasm. To’g’ri chiziq EECH ni 2 ta qarama-qarshi nuqtalarda kesib o’tishi.
Teorema: elliptik egri chiziq (E) ustida qo’shimcha amallar

Arifmetik nuqtai nazardan elliptik egri chiziq EECH da tanlangan ikkita nuqta
Elliptik egri chiziq tenglamasi (5)
To’g’ri chiziq tenglamasi (6)
Bunda (5) va (6) tenglama orasida quyidagicha bog’lanish mavjud:

(5) va (6) tenglamalar grafikda kesishganligi tufayli ularni o’zaro tenglashtiramiz.
(8)
(8) – formulani x(3) orqali ifodalab quyidagi natijani olish mumkin:

(9) da ayniyat qoidalaridan foydalanib, soddalashtirilganda natija hosil bo’ladi:

Umumiy holatda quyidagi natijani olish mumkin:

Elliptik egri chiziq ellips yoki oval shakl emas, lekin u ikkita o’qni kesib o’tuvchi aylanma chiziq sifatida ifodalanadi, bu nuqtaning o’rnini ko’rsatish uchun ishlatiladigan grafikdagi chiziqlar. Egri chiziq butunlay simmetrik yoki grafikning x o’qi bo’ylab aks ettirilgan.
EECH asoslangan kriptotizimlar kalitlarni katta tub sonlar mahsuloti sifatida an’anaviy hosil qilish usuli o’rniga elliptik egri tenglamaning xususiyatlari orqali yaratadi. Kriptografik nuqtai nazardan, grafik bo’ylab nuqtalarni (5) tenglama yordamida shakllantirish mumkin.
Agar ishlatiladigan kalit o’lchami yetarlicha katta bo’lsa, Elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptotizimlar juda xavfsiz deb hisoblanadi. AQSh hukumati uzatilayotgan ma’lumotlarning sezgirlik darajasiga qarab, ichki aloqalar uchun kalit o’lchami 256 yoki 384 bit bo’lgan EECH dan foydalanishni talab qiladi.
Ammo EECH ga asoslangan kriptotizimlarda RSA kabi muqobillarga nisbatan ko’proq yoki kamroq xavfsiz bo’lishi shart emas. EECH ga asoslangan Kriptotizimning asosiy afzalligi ma’lumotlarni shifrlash va shifrni ochishda olinadigan o’ziga xos samaradorlikdir.
Elliptik kriptotizimlarda axborotni himoya qilishning maxsus vositalarini ishlab chiqishning hozirgi bosqichida, asosan, elliptik egri chiziqning nuqtalari ko‘rinishida ma'lumotlarning tasviri qo‘llaniladi.
Elliptik egri chziqlar deb ko’rini-shidagi Veyshtrass tenglamasi orqali aniqlanuvchi egri chiziqqa aytiladi.
Elliptik egri chiziqlarning kanonik ko‘rinishi hisoblangan ushbu tenglama bilan ish ko’riladi

Elliptik egri chiziqlar ustida quyidagi amallarni bajariladi:

Elliptik egri chiziqlarga asoslangan ochiq kalitli shifrlash algoritmlari kalitlarni hosil qilish, xabarni shifrlash va xabarni deshifrlash jarayonlaridan iborat.
Ushbu amallar barcha ochiq kalitli kriptografik algoritmlarda mavjud. Faqat ularni tashkil etgan matematik funksiyalarga asosan turli xil algebraik amallar bajariladi.
Elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografik algoritmlarda kalitlarni hosil qilish uchun chekli maydonda elliptik egri chiziqni qurish kerak.
Misol tariqasida p=37 maydonda a=2 va b=9 parametrli quyidagi elliptik egri chiziqni hosil qilamiz. Bunda shartni tekshiramiz, (4*8+27*81)mod37=36 shart bajarildi. Hosil qilingan elliptik egri chiziq elliptik chiziq quriladi.
Kalitlarni hosil qilishning keyingi qadamida berilgan chekli maydondagi elliptik egri chiziqning ratsional nuqtalari hisoblanadi.
Ratsional nuqtalarni aniqlashning ikki xil usuli mavjud.
Birinchi usulida ko’phadning berilgan parametrlarida mos qiymatlari hisoblab chiqiladi. qiymat hisoblanadi. Berilgan qiymatlar y ning butun qiymatlariga mos x ning qiymatlari ratsional x, y nuqtalar to’plami tanlab olinadi.
Misol uchun: elliptik chiziqning ratsional nuqtalarini hisoblaymiz. Tenglamaga x ga mos qiymatlarni berib hisoblab chiqamiz. Buni jadval ko’rinishida ifodalaymiz.

Jadvaldan berilgan ning butun qiymatlariga mos x ning qiymatlarini olib ratsional nuqtalarini x, y hisoblaymiz.
tenglamaning ratsional nuqtalari to’plami: (9,4), (21,5), (26,5), (27,5), (29,6), (37,3).
Lekin ushbu usul bo’yicha berilgan tenglamaning barcha ratsional nuqtalarini aniqlab bo’lmaydi.
Berilgan parametrdagi elliptik egri chiziqlarning ratsionlar nuqtalarini aniqlashning 2- usuli bu E37(2,9) maydonda qiymatlarni hisoblash va o’zaro qiymatlari teng kelgan (x,y) ratsiona nuqtalarni tanlab olish kerak.

Natijada quyidagi barcha ratsional nuqtalarga ega bo’lamiz. {(5,25), (1,30), (21,32), (7,25), (25,12), (4,28), (0,34), (16,17), (15,25), (27,32), (9,4), (2,24), (26,5), (33,14), (11,17), (31,22), (13,30), (35,21), (23,7), (10,17), (29,6), (29,31), (10,20), (23,30), (35,16), (13,7), (31,15), (11,20), (33,23), (26,32), (2,13), (9,33), (27,5), (15,11), (16,20), (0,3), (4,9), (25,25), ( 7,12), (21,5), (1,7), (5,12)}
Ushbu berilgan nuqtalar orqali elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptografik algoritmlarning kalitlarini hosil qilishimiz mumkin. Elliptik egri chiziqlarning ratsional nuqtalarini aniqlashning 2 xil usulini ko‘rib chiqdik. Ratsional nuqtalarni aniqlashning tenglamalar ko’rinishdagi birinchi usulida barcha nuqtalarni aniqlashni inkon mavjud emas va qadamlab hisoblash uzoq vaqt talab qiladi. Ratsional nuqtalarni aniqlashning x va y qiymatlarini hisoblagan holda aniqlash usuli esa, nisbatan aniqroq va tezkor usul hisoblanadi. Bu usul orqali elliptik egri chiziqning barcha ratsional nuqtalarini aniqlash mumkin. Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, Ratsional nuqtalarni aniqlashning x va y qiymatlarini hisoblagan holda aniqlash usuli samarali va tezkor usul hisoblanadi.


Xulosa:
Elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptografiya, RSA kriptografiyasiga qaraganda yuqori darajada xavfsizlik ta’minlaydi. EECH asoslangan kriptotizimida ishlatiladigan maxfiylik kalitlar, RSA kriptografiyasiga qaraganda ko’p darajada qisqa bo’lishi mumkin. Buning sababi EECH asoslangan Kriptografiga, xavfsizlik darajasini oshirish uchun katta hajmdagi kalitlarga egadir, shuningdek, kalitlar orasidagi o’zaro almashtirishlar osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin. Elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptografiya hozirgi kunda ko’p joyda ishlatilmoqda, masalan, banklar, telekommunikatsiya kompaniyalari, internet xizmat ko’rsatuvchilari va hokazo. Shuningdek, EECH asoslangan Kriptotizimlar, mobil qurilmalarda ishlatiladigan kriptotizimlar uchun juda qulaydir. Barcha kriptotizimlar katta ehtiyojlar talab qiladi va ularga doimiy ravishda yangilash kerak. Shuning uchun, ECC ham shuningdek, boshqa kriptotizimlar ham, o’zlarining afzalliklarini va kuchli yonlarini o’rganish, ularga qarshi potentsial xavf va tahlillarga ko’ra to’g’ri kelgan holatda foydalanish kerak.