Blackcurse

 
Hosil qilingan formula Bernulli formulasi deyiladi. 
Misol.
 Har bir detalning standart bo’lishi ehtimoli r=0,8 bo’lsa, tavakkaliga 
olingan 5 ta detaldan rosa 2 tasining standart bo’lishi ehtimolini toping. 

---

 
25
Echish.
 Izlanayotgan ehtimolni n=5, m=2, p=0,8, va q=0,2 da Bernulli 
formulasidan topamiz
 
   
0512
,
0
00512
,
0
!
2
!
3
!
5
2
,
0
8
,
0
)
2
(
3
2
2
5
5
=
=
⋅
=
C
Р
 
Bernulli formulasining tatbiqiga doir yana bitta misol keltiramiz. Tanga 10 
marta tashlanadi. Gerb tomonining aniq 3 marta tushishi ehtimoli qanchaga teng? 
Echish.
 Bu hodisaning har bir tajribadagi ehtimoli 
2
1
 ga teng. Bundan, 
 
28
15
2
1
!
7
!
3
!
10
2
1
2
1
)
3
(
10
7
3
3
10
10
=
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
C
Р
 
A hodisaning o’tkazilayotgan n ta erkli takroriy sinov davomida kamida k 
marta ro’y berish ehtimoli  
)
(
..
.
)
(
)
(
n
P
k
Р
к
Р
n
n
n
+
+
1
+
+
 
ko’pi bilan k marta ro’y berishi ehtimoli esa  
)
(
.
.
.
)
(
)
(
k
P
P
P
n
n
n
+
+
1
+
0
 
formulalar bilan hisoblanadi. 
Agar n ta erkli sinovdan hodisaning k
0
 marta ro’y berishi ehtimoli sinovning 
boshqa mumkin bo’lgan natijalari ehtimollaridan kichik bo’lmasa, u holda k
0
 soni 
eng 
e
h
timolli son
 deb ataladi va quyidagi qo’sh tengsizlik bilan aniqlanadi:  
   
 
 
 
p
np
к
q
np
+
≤
≤
−
0
 
Eng ehtimolli sonni aniqlash uchun hamma ehtimollarni hisoblab chiqmasdan 
sinovlar soni n, har bir sinovda A hodisaning ro’y berish ehtimolini bilish kifoya 
ekan. Haqiqatan ham, eng ehtimolli songa mos keluvchi ehtimolni P
n 
(k
o
) bilan 
belgilasak, yuqoridagi formuladan  
   
 
o
o
o
k
n
k
o
o
k
n
k
k
n
o
n
q
P
k
n
k
n
q
p
C
k
P
−
−
⋅
−
=
⋅
=
)!
(
!
)
(
0
0
 
Eng ehtimolli soni ta’rifidan 
   
 
)
(
)
(
1
−
≥
o
n
o
n
k
P
k
P
 
   
 
)
(
)
(
1
+
≥
o
n
o
n
k
P
k
P
  

---

 
26
Bu tengsizliklarga mos ravishda P
n
(k
o
), P
n
(k
o
-1), P
n
(k
o
+1) larninng 
qiymatlarini qo’yib quyidagilarga ega bo’lamiz. 
 
   
,
)!
(
)!
(
!
)!
(
!
!
1
+
−
1
−
≥
⋅
−
1
+
−
1
−
−
0
o
o
k
n
k
k
n
k
o
o
k
n
k
q
P
n
q
P
k
n
k
n
o
o
o
 
 
1
−
−
1
+
1
+
−
1
−
−
⋅
1
+
−
1
−
≥
⋅
−
0
o
o
o
o
o
k
n
k
o
o
k
n
k
k
n
k
o
o
q
p
k
n
k
q
P
n
q
P
k
n
k
n
)!
(
)!
(
!
)!
(
!
!
 
Bu tengsizliklarni k
0
 ga nisbatan echamiz va quyidagilarga ega bo’lamiz: 
   
 
q
np
к
p
np
к
o
o
−
≥
+
≤
;
 
Ohirgi ikki tengsizlikni birlashtirib, eng ehtimolli sonni aniqlovchi qo’sh 
tengsizlikka ega bo’lamiz: 
   
 
p
np
к
q
np
o
+
<
≤
−
 
Bu tengsizlikni aniqlovchi intervalning uzunligi 
   
 
1
=
+
=
−
−
+
q
p
q
np
p
np
)
(
 
ekanligini va hodisa n ta sinov natijasida butun son marta ro’y berishini hisobga 
olsak, eng ehtimolli son k
0
 quyidagi shartlarni qanotlantiradi: 
a)
 agar np-q son kasr bo’lsa, u holda bitta eng ehtimolli k
0
 son mavjud 
bo’ladi. 
b)
 agar np-q butun son bo’lsa, u holda ikkita k
0
 va k
0
 +1 eng ehtimolli sonlar 
mavjud bo’ladi; 
v) 
agar np butun son bo’lsa, u holda eng ehtimolli son k
0
=np bo’ladi. 
Misol.
 Tanga 6 marta tashlanadi. Gerbli tomon tushishlarining eng ehtimolli 
sonini toping. 
Echish.
 Berilgan masalaning shartlariga asosan, n=6, p=q=1/2. U holda gerbli 
tomoni tushishlarining eng ehtimolli soni k
0
 ni quyidagi qo’sh tengsizlikdan 
foydalanib topamiz: 
   
 
5
,
3
5
,
2
2
1
2
1
6
2
1
2
1
6
≤
≤
⇒
+
⋅
≤
≤
−
⋅
o
o
k
k
 

---

 
27
Demak, eng ehtimolli son 3 ekan. K
0 
=
 
np=3 ekanligidan foydalansak ham 
bo’ladi. 
Shunday qilib, eng ehtimolli sonni aniqlash jarayonida biz np sonning 
Bernulli sxemasida maxsus ahamiyatga ega ekanligiga ishonch hosil qilish 
imkoniga ega bo’ldik. Bu shundan iborat bo’ldiki, np songa eng yaqin bo’lgan 
ikkita butun sonlardan biri (ba’zan esa ikkalasi ham) eng ehtimolli son bo’ladi. 
np son yuqoridagidan boshqa unga nisbatan muhimroq bo’lgan talqinga xam 
ega ekan. Chunonchi, np ni ma’lum ma’noda n ta tajribalardagi 
muvaffaqiyatlarning o’rtacha soni deb qarash mumkin. 
Qisqalik uchun tajribaning n marta takrorlanishini seriya deb ataymiz. Faraz 
qilaylik, biz biror songa teng, aytaylik, N ta seriya o’tkazgan bo’laylik. Birinchi 
seriyada k
1
 muvaffaqiyat, ikkinchisida k
2
 ta va x.k. N-seriyada esa k
N
 ta 
muvaffaqiyat olingan bo’lsin. Bu sonlarning o’rta arifmetigini tuzamiz: 
 
  
N
k
k
k
N
+
+
+
..
.
2
1
 
W ortishi bilan ko’rsatilgan o’rta arifmetik biror o’zgarmas qiymatga 
yaqinlashar ekan. Bunga ishonch hosil qilish maqsadida oxirgi munosabatni 
n
N
n
k
k
k
n
⋅
⋅
+
+
+
2
1
.
.
.
 
ko’rinishda yozib olamiz; so’ngra quyidagi holni e’tiborga olamiz . 
N ta seriya o’tkazish bilan biz qaralayotgan tajribani Nn marta amalga 
oshiramiz. Yuqorida yozilgan Nn maxrajli kasr ana shu Nn ta tajribalardagi 
muvaffaqiyatlar umumiy sonining barcha tajribalar soniga nisbatidan boshqa narsa 
emas. N ning o’sishi (demak, Nn ham o’sishi) bilan bu kasr muvaffaqiyatning 
ehtimoli bo’lgan R songa yaqinlashadi. Demak,  
N
k
k
k
n
+
+
+
2
1
.
.
.
 
ifoda np songa yaqinlashadi. Ana shuni hosil qilish talab qilingan edi.  

---

 
28
Misol.
 
Ma’lum korxonaning sharoitida yaroqsizlikka yo’l qo’yish ehtimoli 
0,05 ga teng. 100 ta mahsulot orasidagi yaroqsiz mahsulotning o’rtacha soni 
nimaga teng? 
Echish.
 Izlanayotgan son np=100 
. 
0.05=5 ga teng bo’ladi.