Chiziqli differensial tenglamalar. Differensial tenglamalar sistemasi Reja

2 - Teorema. Bir jinslimas (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu tenglama biror y₀(x) xususiy yechimi va mos bir jinsli (2) tenglama umumiy yechimlari yig`indisiga teng.
(1) tenglama biror-bir xususiy yechimini ixtiyoriy o`zgarmasni variantsiyalash usulida qurish mumkin.
Agar (1) tenglamaning o`ng tomoni f(x) = P(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishda bo`lsa, bu yerda, P(x) - ko`phad, u holda tenglamaning xususiy yechi-mini qu-rishning oddiy usuli mavjud.
I hol: Agar α xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri bo`lmasa, xususiy yechim у = Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishda qidiriladi. Bu yerda: Q(x) - darajasi P(x) ning darajasiga teng aniqmas koeffitsiyentli ko`phad. у = Q(x)·e<sup>αx</sup> ifoda (1) tenglamaga qo`yiladi, e^αx ga qisqartirilgandan so`ng, ko`phadlar tengligidan, Q(x) ko`phadning aniqmas koeffitsiyentlari aniqlanadi.
Misol. y" - 6y′ + 8y = (3x - l)·e<sup>x</sup> tenglamaning xususiy yechimini toping.
Ushbu holda a = 1, xarakteristik tenglama ildizlari esa 2 va 4 ga teng. Masala yechimini у = (ax + b)·e<sup>x</sup> ko`rinishda qidiramiz. Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:
y′ = a·e^x + (ax + b)·e^x = (ax + a + b)·e^x
y" = a·e^x + (ax + a + b)·e^x = (ax + 2a + b)·e^x
у, у′, у" ifodalarni tenglamaga qo`yiladi va e<sup>x</sup> ga qisqartirilgandan so`ng:
(ax + 2a + b) - 6 (ax + a + b) + 8 (ax + b) = x - 1 yoki
3ax - 4a + 3b = 3x - l.
Mos koeffitsiyentlarni tenglab, a = 1, b = -1 natijani olamiz. Izlana-yotgan xususiy yechim:
y = (х - 1)·е^х;
II hol: Agar α xarakteristik tenglamalardan biriga teng bo`lib, ikkinchisidan, farq qilsa, xususiy yechim у = x·Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishida izlanadi.
III hol: Agarda a xarakteristik tenglama ikki karrali ildizlariga teng bo`lsa, u holda xususiy yechim у = x<sup>2</sup>·Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishida qidiriladi.


2. Differensial tenglamalar sistemalari haqida umumiy ma`lumotlar

Agar bir noma`lum funksiyani emas, balki bir yo`la bir nechta noma`lum funksiyani topish masalasi qo`yilgan bo`lsa, umuman olganda, masala chekli shartlari - tenglamalari ham bir nechta bo`lishi zarur bo`ladi. Agarda masala tenglamalari differensial tenglamalardan iborat bo`lsa, u holda differensial tenglamalar sistemasi haqida gapirish mumkin.

Sistema har bir tenglamasida hosila tartibi 1 dan oshmasa, sistema bi-rinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi deb yuritiladi. Ikki noma`lum funksiyali ikki birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi, odatda,


φ(х, у_1, y₂, dy₁/dx; dy₂/dx) = 0
φ(x, у₁, у₂, dy₁/dx; dy₂/dx) = 0 (4)

ko`rinishda yoziladi.

Bir tenglama uchun Koshi masalasining qo`yilishi tabiiy ravishda differensial tenglamalar sistemasi uchun umumlashtiriladi. Masalan, (4) sistema uchun Koshi masalasi boshlang`ich y₁(x₀) = y₁⁰, y₂(x₀) = y₂⁰ shartlarni qanoatlantiravchi y₁(x), y₂(x) yechimlarni topishni anglatadi.
Har qanday yuqori tartibli differensial tenglamani yoki tenglamalar sistemasini birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin.
Masalan, y" = f(x, у, у′) tenglamani


y′ = u
u′ = f(x, y, u) sistema bilan almashtirish mumkin.

Differensial tenglamalar sistemasining maxsus ko`rinishi, chiziqli sistemalarni qarash bilan cheklanamiz.

Ikki noma`lum y₁(x), y₂(x) funksiyalar holi uchun chiziqli sistema


dy₁/dx = a₁₁·y₁ + a₁₂·y₂
dy₂/dx = a₂₁·y₁ + a₂₂·y₂ (5)

ko`rinishga ega bo`lib, umuman olganda, α_ij koeffitsiyentlar erkli o`zgaruvchi x ning uzluksiz funksiyalaridir.

(5) sistemani integrallash usullaridan biri, bir noma`lumli ikkinchi darajali differensial tenglamaga keltirishdir. (5) sistemaning birinchi tenglamasi ikkala qismini x bo`yicha differensiallaymiz,



tenglamada dy₁/dx, dy₂/dx hosilalar sistemadagi ifodasi bilan almashtirilganda,

tenglama o`ng qismida y₁ va y₂ qatnashgan hadlar guruhlanganda


(6)

ko`rinishni oladi, bu yerda β₁ va β₂ koeffitsiyentlar α_ij koeffitsiyentlar va ularning hosilaiari orqali aniq va ravshan ifodalanadi.

(6) tenglamani (5) sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda qarab,
(7)
sistemani olamiz.
Erkli o`zgaruvchi x ning qaralayolgan sohasida muno-sabat o`rinli bo`lsa, (7) sistemani у<sub>1</sub> va y<sub>2</sub> ga nisbatan yechish, ya`ni
va lar orqali ifodalash mumkin. Natijada,


(8)
(9)
tenglamalarga ega bo`lamiz. (8) tenglama yagona y<sub>1</sub>(x) noma`lum funk-siyali, ikkinchi tartibli chiziqli tenglamadir. Agar dastlabki (5) sistemada α_ij koeffitsiyentlar o`zgarmas bo`lsa, (8) tenglama ham o`zgarmas koef-fitsiyentli bo`lib, ushbu tenglamani yuqorida ko`rilgan qulay usulda yechish mumkin.
Misol. Sistemani yeching.

Birinchi tenglamani ikkala qismini differensiallaymiz, natijada

sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda

ko`rinishni oladi.
Oxirgi sistemani y₁ va y₂ larga nisbatan yechamiz:

Natijada, noma`lum y₁(x) funksiyaga nisbatan

tenglama hosil boladi. Ushbu tenglamani ma`lum usulda yechamiz va

y₁=(c1+c₂-x)·e^x
funksiyani olamiz. Oxirgi sistema ikkinchi tenglamasi yordamida
y₂=-1/2·(2c₁+c₂+2c₂x)·e^x
yechim ham kelib chiqadi.
Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz:
, , ,

Yuqoridagi almashtirishlar yordamida, (5) sistemani ixcham

(10)

matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin.)

Masalan, quyidagi

sistemaning matritsa ko`rinishi

(5) sistemaning α_ij koeffitsiyentlari o`zgarmas bolsa, sistemani yechishda chiziqli algebra usullarini qo`llash imkoni mavjud.

Dastlab boshida (5) sistema Trivial (nol) y₁(x) = 0, y₂(x) = 0 yechimlarga ham ega ekanligmi tekshirib ko`rish qiyin emas. Sistemamng notrivial (nolmas) yechimlarini y<sub>1</sub> = P<sub>1</sub>·e<sup>λx</sup>, y<sub>2</sub> = P<sub>2</sub>·e<sup>λx</sup> yoki matrisa у = Р·e<sup>λx</sup>, bu yerda, ko`rinishida qidiramiz.
Y = λP·e^λx bo`lganidan, Y va Y larni (10) tenglamaga qo`yib, e^λx ga qisqartirilgandan so`ng, λ, P juftliklarni topish uchun matritsali

A·P = λ ·P (11)

tenglamani olamiz. (11) tenglamani yechish A matritsaning xos P vektorlari va X qiymatlarini topish masalasidir. A matritsaning xos qiymatlari

(12)

xarakteristik tenglama ildizlari bo`lib, so`ngra xos qiymatlarining har birigategishli xos vektorlar quriladi.)

λ₁ va λ₂ sonlar (12) xarakteristik tenglamaning turli haqiqiy ildizlari bo`lsin. Agar P<sub>1</sub> vektor λ<sub>1</sub> xos qiymatga tegishli biror-bir xos vektor, P<sub>2</sub> esa λ<sub>2</sub> xos qiymatga mos biror xos vektor bo`lsa, u holda (10) tenglama-ning ikki xususiy yechimlari Y₁= P₁·e^λ1·x, Y₂ = P₂·e^λ2·x formulalardan aniqlanadi.
Umumiy yechim
Y = C₁·Y₁ + C₂·Y₂,

ko`rinishga ega, bu yerda C<sub>1</sub> va C<sub>2</sub> ixtiyoriy o`zgarmaslar.

Agar λ₁ = λ₂ bo`lsa, unda ikki Y<sub>1</sub> va Y<sub>2</sub> xususiy yechimlarning o`rniga birgina Y₁ yechimni olamiz. Ushbu holda ikki xususiy yechim sifatida Y₁ va x·Y₁ lar tanlanadi.
Agarda X₁ va X₂ sonlar haqiqiy sonlar bo`lmasa, u holda λ<sub>1</sub> = α + β·i, λ<sub>2</sub> = α - β·i - bu yerda β ≠ 0. λ<sub>1</sub> va λ<sub>2</sub> kompleks xos qiymatlarga mos xos vektorlar quriladi. Xususiy Y<sub>1</sub>= P<sub>1</sub>·e<sup>λ1·x</sup>, Y<sub>2</sub> = P<sub>2</sub>·e<sup>λ2·x</sup> yechimlar ham o`zaro qo`shma kompleks bo`ladi. Haqiqiy yechimlarni olish uchun Y₁ va Y₂ larning chiziqli kombinatsiyasini quyidagi ko`rinishda

Y₁₀ = Y₁ + Y₂, Y₂₀ = (l/2i)(Y₁ - Y₂)

quramiz.
Misol. Sistemani yeching.

Ushbu sistema uchun



A matritsaning xos qiymatlari λ₁ = 1, λ₂ = 6 va ularga tegishli xos , vektorlar qurilgan .