Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Reja: Umumiy tushunchalar

2-misol. Ushbu

5 x  2 y  4,
^_0, 35 x  1,14 y  2
sistema yechilsin.

◄Bu sistema uchun  ,  _x , _у larni topamiz:

		5		2				 50,14 0,352 0,7  0,7  0
	0,35			0,14
х			4	2			 40,14 22 0,56  4  0.
			2	0,14

Demak, berilgan sistema yechimga ega emas. ► Uchta chiziqli tenglamalardan iborat ushbu

 a11 x  a12 y  a13 z  b1 ,
^	a21 x  a22 y  a23 z  b2 ,					(3)
	a x  a y  a z  b ,
	31	32	33	3

sistema uchta x, y va z noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda


a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ , a₂₁ , a₂₂ , a₂₃ , a₃₁ , a₃₂ , а₃₃ sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari, b₁ ,b₂ ва b₃ sonlar ozod hadlar deyiladi.

( 3) sistemaning koeffitsientlaridan quyidagi

^a11 ^a12 ^a13

• 
  ^{ a}21^a22 ^a23
  

^a31 ^a32 ^a33

uchinchi tartibli determinantni hosil qilamiz. So’ng bu determinantning birinchi, ikkinchi va uchinchi ustunlarini mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirib quyidagi determinantlarni tuzamiz:

b1

^a12

^a13

^a11

b1

^a13

^a11

^a12

b1

х

b2

^a22

^a23

,

y

^a21

b2

^a23

,

z

^a21

^a22

b2

.

b3

^a32

^a33

^a31

b3

^a33

^a31

^a32

b3

Demak, (3) sistema berilgan holda har doim  ,  _x ,  _y , _z determinantlarga ega

bo’lamiz.

2-Teorema. Faraz qilaylik,

• 
  a₁₁ x  a₁₂ y  a₁₃ z  b₁ , ^ a₂₁ x  a₂₂ y  a₂₃ z  b₂ ^_ a₃₁ x  a₃₂ y  a₃₃ z  b₃ .^,
  

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar

x, y , z

1)  0 bo’lsa, u holda (3) sistema yagona

yechimga ega bo’lib,

х 



х

,

у 

у

,z 



z







bo’ladi;

2. 
    0 bo’lib,  _x  0,  _y  0 bo’lsa, u holda (3) sistema yechimga ega
   

bo’lmaydi;

3. 
    _x  _y  _z  0 bo’lsa, u holda (3) sistema cheksiz ko’p yechimga ega
   

bo’ladi.

◄Bu teoremaning isboti 2–teoremaning isboti kabidir. ► 3-misol. Ushbu

2 x  3 y
^
 x  y 


^_ 2 x  y

• 
  z  5,
  

2 z  7,

 z  1

tenglamalar sistemasi yechilsin.
◄Avvalo sistema koeffitsientlaridan tuzilgan  determinantni hisoblaymiz:
2 3 1

 1 1 2 2121(2)(4)318.

2 1 1

Demak, berilgan sistema yagona yechimga ega. Endi  _х ,  _у , _z determinantlarni hisoblaymiz:

	x				5								3		1																														
					7								12																		567				1								10				218,
					1								1		1
y												2		5		1										14 20 114 4 5  38,
												1		7		2
											2		1		1
z							2							3		5					 242510143 40.
							1 1 7
							2							1		1

Unda

• 
  ^_^х₁₈⁸₉⁴
  

• 
  ^_^у₁₈³⁸¹⁹₉z  ^_^z  ₁₈⁴⁰  ²⁰₉
  

bo’ladi. ►

Yuqorida keltirilgan tenglamalar sistemasining yechimini topish usuli Kramer usuli deyiladi.

Shu usul bilan n ta chiziqli tenglamalardan tuzilgan n ta х₁ , х₂ , х_n noma’lumli tenglamalar sistemasi

 an x1  a12 x2  a1n xn  b1 ,
^	a21 x1  a22 x2  a1n xn  b2 ,
	..............................................

	a x  a x  a x  b ,
	n1 1n 2 2	nn nn

ni ham yechish mumkin.