Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Reja: Umumiy tushunchalar

5-Misol.

O‘z-o‘zidan ko‘rinib turibdiki bu sistemaning yechimi x =5, y = -2, z =4 bo‘ladi.

6-Misol.

Kengaytirilgan matritsani quyidagi tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozamiz:

Kengaytirilgan matritsaning 1 elementiga x₁, x₂, x ₃ mos kelgani uchun ularni bazis elementlar deb ataymiz. x₄ esa erkli noma’lum deb ataladi.

U holda sistemaning yechimi erkli o‘zgaruvchiga nisbatan quyidagicha topiladi:

Bundan ko‘rinib turibdiki erkli o‘zgaruvchi x₄ ning o‘rniga ixtiyoriy qo‘ysak bo‘ladi. U holda sistema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Demak sistema cheksiz ko‘p yechimga ega

7-Misol.
Tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching:
 3x  y  2z  9
^ x  4 y  z  4
 .
^_2x  3y  3z  11


Yechish. Gauss usuli berilgan tenglamalar sistemadagi noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishdan iboratdir. Bu usulni qo‘llash oson bo‘lishi uchun 1-chi va 2-chi tenglamalarning o‘rnini almashtiramiz.

	x  4 y  z  4
	3x  y  2z  9 .


^_2x  3y  3z  11

Endi 2-chi va 3-chi tenglamalardan x ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan, 2 ga ko‘paytirib, 3-chi tenglamadan ayiramiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:

 x  4 y  z  4
^
13y  z 3 .
2-chi tenglamaga 3-chi tenglamani qo‘shib, 3-chi tenglamadan z ni yo‘qotamiz:

 x  4 y  z  4

13y  z 3 .
	 24 y  0


Oxirgi tenglamadan у  0 ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatni 2-chi tenglamaga

qo‘yib z ni aniqlaymiz. Topilgan y va z ni 1-chi tenglamaga qo‘yib topamiz. z=3, x= 1.

Shunday qilib, x = 1, y = 0, z = 3.


Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish

Chiziqli tenglamalar sistemasinini qaraylik

(4)

va quyidagicha belgilashlar kiritaylik:

 a

a...

a





11

12

1n 

a21

^a22

...

^a2n



- sistemaning matritsasi,

A  

... ... ... ...









^an 2

...



^an1

^ann 

 x



 b1



 1







 x2



- noma’lumlar ustuni, B 

b2



- ozod hadlar ustuni. U holda (4) sistemani

X  







 ...



 ...











 ^xn



^bn



matritsaviy tenglama ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:

 a1

 x1

 a11 x1  a12 x2  a1n xn



^ a

x

^ a x  a x  a x



(5)

A. x  ^ ^2



^2



^211

22 2

2n n 

























 ^am  ^xn

^am1^x1

^ ^am 2 ^x2 ^^amn^xn

AX=B.

Faraz qilaylik А - xosmas matritsa

bo‘lsin,

u holda

unga

teskari

A^^1 matritsa

mavjud bo‘ladi. (5) tenglamaning har ikki tomonini A^1 ga chapdan ko‘paytiraylik.
A^1 AX  A^1B.

Ma’lumki A^1 A  E, u holda EX  A^1 B , EX  X ekanligidan X  A^1B. Shunday qilib, (5) – matritsaviy tenglamaning yechimi, А matritsaga teskari matritsaning (4) sistemaning ozod hadlaridan iborat ustun matritsaga ko‘paytmasiga teng ekan.

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish.
Kroneker- Kapelli teoremasi.

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

(6)
Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:

(7)
Yuqorida qaralgan noma’lumlari soni n ta, tenglamalari soni m ta bo‘lgan (6) sistemani qaraylik. Uning koeffitsentlaridan tuzilgan (7) matritsa va ozod hadlar qo‘shilishidan hosil bo‘lgan kengaytirilgan matritsani qaraylik

, Ravshanki rangA ≤ rangB.


3-Teorema. (Kroneker-Kapelli). Yuqoridagi (6) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun bu sistema matritsasi va kengaytirilgan matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli.


Isbot. Zarurligi. (6) sistema birgalikda va x₁=k₁, x₂₌k₂,..., x_n=k_n va yechimga ega bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi.

2. 
   matritsaning 1- ustunini k₁ ga, 2- ustunini k₂ ga va hokazo n ustunini k_n ga ko‘paytirib oxirgi ustunidan ayiramiz va B ga ekvivalent matritsa hosil qilamiz
   

Bu matritsaning oxirgi ustunini o‘chirish bilan A matritsaga kelamiz. Buning elementar almashtirishligini e’tiborga olsak: rangA=rangB.

Yetarliligi. rangA=rangB bo‘lsin. U holda A matritsadagi chiziqli bog‘liq bo‘lmagan maksimal sondagi ustunlar B matritsada ham chiziqli bog‘liq bo‘lmaydi. Demak shunday k₁, k₂,..., k_n koeffitsentlar topiladiki, B matritsaning oxirgi ustuni bu koeffitsentlarning A matritsa ustunlari

bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. B matritsaning oxirgi ustuni (6)

sistemaning oxirgi ustuni ekanligini hisobga olsak, Bu koeffitsentlar (6)
sistemaning yechimi bo‘ladi. Demak A va B matritsalar rangining tengligi bu
sistemaning birgalikda ekanligini keltirib chiqaradi. Teorema isbot
bo‘ldi.

Agar rangA=rangB=n bo‘lsa tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng

bo‘lib sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.
rangA=rangB=kbo‘lib k1, k2,..., kk noma’lumlar erkli o‘zgaruvchi kk+1, kk+2,..., kn lar orqali

ifodalanadi va sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Agar A va kengaytirilgan B matritsalar ranglari teng bo‘lmasa, sistema yechimga ega bo‘lmaydi.

Agar (6) sistemada b₁ =b₂=... =b_n=0 bo‘lsa sistema bir jinsli deb ataladi.

Bu systema doimo birgalikda, chunki kengaytirilgan B matritsa A matritsadan elementlari noldan iborat oxirgi ustun bilan farq qiladi va rangA=rangB. Agar rangA=n bo‘lsa sistema yagona x₁ =0, x₂ =0,..., x_n=0 yechimga ega. rangA bo‘lgan holda (9) sistema noldan farqli yechimga ham ega bo‘ladi. Yuqoridagi sistema nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi kerak, bu tasdiq rangA ga teng kuchli bo‘ladi.

A D A B I YO T L A R

1. 
   A.S. Piskunov. Differensial va integral hisob. T. «Uqituvchi»,1974 y ,31 – 49 betlar.
   
2. 
   L.E.Elsgolts. Differensialnie uravneniya i variatsionnoe ischislenie . M. ,»Nauka» , 1969 g. ,s .32–38, 68–82.
   
3. 
   L.S.Pontryagin. Differensialnie uravneniya i ix prilojeniya. M., Nauka , 1965 g., s.13–25 .
   
4. 
   M.S. Salohitdinov, O’.N. Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar. T. «Uzbekiston» , 1994 y.,32 - 42 betlar.
   
5. 
   V.P. Minorskiy. Oliy matematikadan masalalar to’plami. T.
   

«O’qituvchi», 1977, 230-234 betlar.