Chiziqli tenglamalar

Misol. Ushbu

tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching.
Yechish: Sistemaning 1- tenglamasidan _{ } ni topib, sistemaning 2- va 3- tenglamalariga qo`yamiz:

Bu sistemaning ikkinchisidan _{ } ni topib, uchinchi tenglamaga qo`yib, qo`yidagi sistemaga kelamiz:

Bu yerdan _{ }
3§ Kramer usuli.

Uch noma`lumli uchta tenglamalar sistemasi

_{ } (1)
berigan bo`lsin.
Sistemaning asosiy determinanti <sub> </sub> va yordamchi determinantlari.
<sub> </sub>; <sub> </sub> ni tuzamiz.
Agar sistemaning determinanti ∆≠0 bo`lsa, u holda (1) sistema
_{ }; _{ } (2)
yagona yechimga ega bo`ladi.
(1) sistemaning yechimini (2) ko`rinishda topish Kramer qoidasi deb ataladi.
Agar _{ } bo`lib, <sub> </sub> lardan hech bo`lmaganda bittasi noldan farqli bo`lsa, u holda sistemaning yechimi mavjud bo`lmaydi va sistema birgalikda bo`lmagan sistema deb ataladi.
Agar <sub> </sub> , <sub> </sub> bo`lsa , u holda (1) sistema cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
Misol. Ushbu

tenglamalar sistemasi Kramerning (2) formulasi bilan yechilsin.
Yechish. Noma`lumlar oldida turgan koeffitsentlardan tuzilgan asosiy determinantni tuzib, hisoblaymiz:
1)<sub> </sub>
So`ngra yordamchi determinantlarni ham hisoblaymiz:
2) _{ }
3) _{ }

1. 
   _{ }
   

U holda Kramer formulasiga asosan tenglamalar sistemasini yechimini hosil qilamiz:

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish, 𝑥 va 𝑦 sonlarning shunday to’plamiki, ularni sistema tenglamalarining o’rniga qo’yilganda ular ayniyatga aylanadi. Bunday sonlar to’plamini sistemaning yechimi deb ataymiz. Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikdagi sistema deyiladi. Bitta yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniq sistema deyiladi. Cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas sistema deyiladi. Bitta ham yechimga ega bo’lmagan sistema birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Sistema koeffitsientlaridan quyidagi ikkinchi tartibli determinantni tuzib, uni ∆ bilan belgilaymiz va sistema determinant deb ataymiz: ∆= 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 So’ngra bu determinantda mos ravishda birinchi va ikkinchi ustunlarni ozod hadlar bilan almashtirib, ∆𝑥 , ∆𝑦 bilan belgilanadigan ushbu determinantni tuzamiz: ∆𝑥= 𝑏1 𝑎12 𝑏2 𝑎22 , ∆𝑦= 𝑎11 𝑏1 𝑎21 𝑏2 Agar ∆≠ 0 bo’lsa, (1) sistemaning yechimi 𝑥 = ∆𝑥 ∆ , 𝑦 = ∆𝑦 ∆ (2) formula yordamida topiladi. Isbot. (1) Sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini (𝑎22) ga, ikkinchisini esa (−𝑎12) ga ko’paytirib va so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz: (𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑥 = 𝑏1𝑎22 − 𝑏2𝑎12 (3) Shunga o’xshash, (1) sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini (−𝑎21) ga, ikkinchisini esa (𝑎11) ga ko’paytirib, so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz: (𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 = 𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 (4) (3) va (4) formulalarda turgan ayirmalar biz yuqorida kiritgan ikkinchi tartibli determinantlardir. 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12 = 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 = ∆, 𝑏1𝑎22 − 𝑏2𝑎12 = 𝑏1 𝑎12 𝑏2 𝑎22 = ∆𝑥, 𝑏1𝑎21 − 𝑏2𝑎11 = 𝑎11 𝑏1 𝑎21 𝑏2 = ∆𝑦 Bu belgilashlarda (3) va (4) tenglamalar bunday yoziladi: 𝑥 ∙ ∆=∆𝑥 𝑦 ∙ ∆=∆𝑦 (6) Uch hol bo’lishi mumkin. a) Agar sistema determinanti ∆≠ 0 bo’lsa, u holda (6) formulalardan (1) sistema birgalikda 𝑥 = ∆𝑥 ∆ , 𝑦 = ∆𝑦 ∆ (7) formulalar bilan aniqlanadigan bitta yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. (2) formula isbot bo’ldi. (7) qoidaga Kramer qoidasi deyiladi. b) Agar sistema determinanti ∆= 0, lekin ∆𝑥 va ∆𝑦 determinantlardan kamida bittasi nolga teng bo’lmasa, u holda (6) formulalardan (1) sistema birgalikda emas, ya’ni bitta ham yechimga ega emasligi kelib chiqadi. c) Agar sistema determinanti ∆= 0 va ∆𝑥= 0, ∆𝑦= 0 bo’lsa u holda (6) formuladan (1) sistema aniqmas, ya’ni cheksiz ko’p yechimlarga ega ekani kelib chiqadi. 1-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching. 3𝑥 − 𝑦=5 𝑥 + 2𝑦=4 Yechish: Determinantni hisoblaymiz: ∆ = 3 −1 1 2 =7, ∆𝑥 = 5 −1 4 2 = 14, ∆𝑦 = 3 5 1 4 = 7 Kramer qoidasidan foydalanib 𝑥 va 𝑦 ni topamiz: 𝑥 = ∆𝑥 ∆ = 14 7 = 2; y = ∆𝑦 ∆ = 7 7 = 1. 2-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching. 3𝑥 + 𝑦=2 6𝑥 + 2𝑦=3 Yechish. Determinantni hisoblaymiz: ∆ = 3 1 6 2 = 0, ∆𝑥 = 2 1 3 2 = 1, ∆𝑦 = 3 2 6 3 = −3 Sistema birgalikda emas, yechimlari yo’q. 3-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching. 3𝑥 − 𝑦=2 6𝑥 − 2𝑦=4. Yechish. Determinantni hisoblaymiz: ∆ = 3 −1 6 −2 = 0, ∆𝑥 = 2 −1 4 −2 = 0, ∆𝑦 = 3 2 6 4 = 0 Sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega.

Endi ushbu uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz. 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13z=𝑏1 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23z=𝑏2 𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33z=𝑏3 (8) Ushbu belgilashlarni kiritamiz. ∆= 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 , ∆𝑥= 𝑏1 𝑎12 𝑎13 𝑏2 𝑎22 𝑎23 𝑏3 𝑎32 𝑎33 , ∆𝑦= 𝑎11 𝑏1 𝑎13 𝑎21 𝑏2 𝑎23 𝑎31 𝑏3 𝑎33 , ∆𝑧= 𝑎11 𝑎12 𝑏1 𝑎21 𝑎22 𝑏2 𝑎31 𝑎32 𝑏3 . (8) sistema koeffitsientlaridan tuzilgan ∆ determinantni sistema determinant deb ataymiz. ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 determinantlar ∆ determinantdan unda mos ravishda birinchi, ikkinchi yoki uchinchi ustunni 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi. ∆≠ 0 bo’lsa, (8) sistema yechimi ushbu formula yordamida hisoblanadi. 𝑥 = ∆𝑥 ∆ , 𝑦 = ∆𝑦 ∆ , 𝑧 = ∆𝑧 ∆ (9) (9) Formula uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasi uchun Kramer qoidasi deyiladi. 4-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching: 𝑥 + 2𝑦 + z=8 3𝑥 + 2𝑦 + z=10 4𝑥 + 3𝑦−2z=4 ∆ , ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 determinantlarni hisoblaymiz: ∆= 1 2 1 3 2 1 4 3 −2 = 14, ∆𝑥= 8 2 1 10 2 1 4 3 −2 = 14, ∆𝑦= 1 8 1 3 10 1 4 4 −2 = 28, ∆𝑧= 1 2 8 3 2 10 4 3 4 = 42. Kramer qoidasidan foydalanib, 𝑥, 𝑦, 𝑧 larni topamiz. 𝑥 = ∆𝑥 ∆ = 14 14 = 1, 𝑦 = ∆𝑦 ∆ = 28 14 = 2, 𝑧 = ∆𝑧 ∆ = 42 14 = 3 (8) tenglamalar sistemasiga qaytib, ozod hadlar nolga teng deb hisoblaymiz. Ushbu bir jinsli sistemani qaraymiz: 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13z=0 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23z=0 𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33z=0 (10) Determinantlar ∆𝑥= ∆𝑦= ∆𝑧= 0, chunki ular nollardan iborat ustunga ega. Shu sababli bir jinsli sistema ∆≠ 0 bo’lganda birgina nol yechim 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 ga ega yoki ∆= 0 bo’lganda cheksiz ko’p yechimlarga ega

Adabiyot:

1. Izzatullayev N.

2. Mamatov Sh.

3. S. Xoliqulov S. Chiziqli algebra elementlari va tekislikda analitik geometriya Uslubiy qo`llanma
4. www.ziyonet.uz5.