Ekstremmumlar nazariyasining geometrya, mexanika va fizika masalalariga tadbiqlar

Eki argumentli funkciya ekstremumları hám eń úlken, eń kishi bahaların tabıw. Shártli ekstramumları


REJE

1. 
   Ekstremmumlar teoriyası
   
2. 
   Funksiyalardıń kesindisindegi eń úlken hám eń kishi bahaların tabıw
   
3. 
   Shártli ekstramumlar
   

1. 
   Ekstremmumlar teoriyası
   

1-tariyp. Eger funksiya qandayda bir noqatda úzliksiz bolıp, sol noqattıń sonday átirapı ámeldegi bolsaqı, ol átiraptıń barlıq noqatları ushın bul

teńsizlik atqarılsa, ol halda noqat ƒ (x) funksiyanıń minimum noqatı dep ataladı ; ƒ () bolsa ƒ (x) funksiyanıń minimumı dep ataladı.

2-tariyp. Eger ƒ (x) funksiya qandayda bir noqatda úzliksiz bolıp, sol noqattıń sonday átirapı ámeldegi bolsaqı, ol átiraptıń barlıq noqatları ushın bul

ƒ (x) <ƒ () (2)
teńsizlik atqarılsa, ol halda noqat ƒ (x) funksiyanıń maksimum noqatı dep ataladı ; ƒ () bolsa ƒ (x) funksiyanıń maksimumi dep ataladı.

3-tariyp. ƒ (x) funksiyanıń minimum yamasa maksimum noqatları onıń ekstremum noqatları dep ataladı, ƒ (x) funksiyanıń minimumı yamasa maksimumi onıń ekstremumı dep ataladı.

4-tariyp. Eger ƒ (x) funksiya (a, b) intervalda anıqlanǵan hám úzliksiz, xo noqat (a, b) intervaldıń (yamasa [a, b] kesindiniń [a, b) (a, b] yarım intervallardıń ) qandayda bir noqatı bolıp, sol intervaldıń xo den ayrıqsha barlıq noqatları ushın bul ƒ (x) <ƒ (xo) teńsizlik atqarılsa, ol halda ƒ (xo) berilgen ƒ (x) funksiyanıń (a, b) intervalda eń úlken ma`nisi dep ataladı ; eger ƒ (x) >ƒ (xo) teńsizlik atqarılsa, ƒ (xo) berilgen ƒ (x) funksiyanıń (a, b) intervalda eń kishi ma`nisi dep ataladı.

Álbette tariypda keltirilgen teńsizliklerdi (a, b) den alınǵan barlıq x noqatlarda tekserip shıǵıw hámme waqıt ańsat bo'lavermaydi. Birpara ápiwayı funksiyalar ushın bul tariypga mısallar kóreylik.
ƒ (x) = funksiyanıń anıqlanıw tarawı [-1, 1] kesindinen ibarat. Sol kesindiniń shettegi noqatlarında, yaǵnıy x =-1, x =+1 de funksiyanıń ma`nisi nolge teń; ishki noqatlarında bolsa, >0. Biraq x dıń ma`nisi absolyut ma`nisi boyınsha azayǵan tárepke funksiyanıń ma`nisi orta baradı, x=0 bolǵanda bolsa ol óziniń eń úlken ma`nisine, yaǵnıy 1 ge erisedi.

1. ƒ (x) = funksiya ushın anıqlanıw tarawdıń: (-1, 1). Bul funksiya bólimi| x|=1 bolǵanda nolge, sonday eken ƒ (x) yarım intervaldan ibarat bolıp, funksiyanıń eń úlken ma`nisi bul tarawǵa tiyisli bolmaydı, usınıń menen birge ol qálegenshe úlken muǵdar bolıp tabıladı.  ga ıntıladı. Biraq berilgen funksiya bahaları tarawı [1, ) funksiyanıń ma`nisi +

Tikkeley tekserip kóriw múmkin, 1-mısalda funksiyanıń eń kishi ma`nisi 0, 2-mısalda bolsa funksiyanıń eń kishi ma`nisi 1 boladı.

5-tariyp. Eger [a, b] kesindinde úzliksiz bolǵan ƒ (x) funksiya ushın sol kesindiniń bir neshe ishki noqatı :

1) maksimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (x) dıń sol noqatlarındaǵı bahaları hám ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń úlkeni ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń úlken ma`nisi dep ataladı.
2) minimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń kichigi ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń kishi ma`nisi dep ataladı.
Qosımsha retinde sonı aytamizki, eger ƒ (x) funksiyanıń anıqlanıw tarawı (a, b) intervaldan (yamasa yarım intervallar (a, b],[a, b) den) ibarat bolsa, ol halda 5-tariypda ƒ (a) hám ƒ (b) lar ornına hám muǵdarları alınadı.

Ferma teorimasi. ƒ (x) funksiya qandayda bir (a, b) intervalda anıqlanǵan hám úzliksiz bolıp sol intervaldıń qandayda bir xo noqatında óziniń eń úlken yamasa eń kishi ma`nisine eriwsin. Eger ƒ' (xo) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda sol tuwındı nolge teń boladı, yaǵnıy ƒ' (xo) =0.

Tastıyıqı. Anıqlıq ushın ƒ (x) funksiya xo noqatda óziniń eń úlken ma`nisine eriwsin deylik, yaǵnıy Bunnan eger xo bolsa,
Eger x>xo bolsa,
teńsizliklerdi jazıw múmkin. Teorimaning shártiga kóre, ƒ' (xo) tuwındı bar. Sol sebepli (3) teńsizlikten de ni (4) den de ni payda etemiz. Bul eki munasábetten f' (xo) =0 ekeni shıǵadı. Teorima tastıyıq boldı.

1-teorema. Eger xo noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan funksiya ushın xo noqat ekstremum noqat bolsa, ol halda ƒ' (xo) tuwındı yamasa nolge teń, yamasa joq.

Tastıyıqı : noqattıń sonday átirapın alamızki, ol átirapda ƒ (x) funksiyanıń basqa ekstremum noqatı bolmaydıin. Atap aytqanda, qandayda bir δ>0 ushın () interval sonday átirap xızmetin oteydi. Sol sebepli, () intervaldıń noqatında funksiya yamasa eń úlken, yamasa eń kishi mániske erisedi; sonday eken, Ferma teorimasiga kóre, eger ámeldegi bolsa, boladı. Biraq noqatda ámeldegi bolmawi de múmkin.

Atap aytqanda eger qandayda bir noqatta yamasa ámeldegi bolmasa, bunnan XO noqattıń ekstremum noqat ekeni kelip shıqpaydı. Atap aytqanda, funksiya ushın tuwındı, yaǵnıy noqatda ámeldegi hám nolge teń. Biraq bul noqat ekstremum noqatı emes.

1-tariyp. Qandayda bir tarawda úzliksiz bolǵan ƒ () funksiyanıń tuwındın nolge aylantıratuǵın yamasa tuwındı ámeldegi bolmaytuǵın noqatlar stasionar (kritik) noqatlar dep ataladı.

2- teorema (ekinshi qaǵıyda ). f (x) funksiya (a, b) intervalda úzliksiz bolıp, onıń noqatında birinshi hám ekinshi tártipli tuwındı ámeldegi bolsın. 1) Eger hám bolsa, ol halda -maksimum noqatı boladı ; 2) Eger hám bolsa, ol halda minimum noqatı boladı.

2.