Ekstremmumlar nazariyasining geometrya, mexanika va fizika masalalariga tadbiqlar

Funksiyalardıń kesindisindegi eń úlken hám eń kishi bahaların tabıw

Ekenin aytıw kerek,[a, b] kesindinde úzliksiz bolǵan funksiya sol kesindinde óziniń eń úlken hám eń kishi bahalarına erisedi. Sol bahalardı qanday tabıw múmkin?

Eger funksiya monoton bolsa (onıń tuwındı óz belgisin saqlasa, yaǵnıy ol yamasa terismes, yamasa ońmas bolsa ), ol halda funksiyanıń eń úlken hám eń kishi bahaları [a, b] kesindiniń aqırlarında -x=a hám x=b noqatlarda boladı.
Eger funksiya monoton bolmasa (yaǵnıy onıń tuwındı belgisin ózgertirse), ol halda funksiya ekstremumlarǵa iye boladı. Bul halda eń úlken hám eń kishi bahalar ekstremumlar menen birdey bolıwı múmkin, ekenin aytıw kerek, ekstremumlar kritik noqatlarda boladı.
Sonday etip, funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń úlken hám eń kishi bahaların tabıw ushın :
1. funksiyaning kritik noqatların anıqlaw ;
2. funksiyaning kritik noqatlarındaǵı hám kesindiniń aqırları daǵı bahaların esaplaw ;
3. topilgan bahalardan eń úlken hám eń kishi bahalardı tańlaw kerek, áne sol bahalar funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń úlken hám eń kishi bahaların ańlatadı.
1-mısal. funksiyanıń [- ] kesindindegi eń úlken hám eń kishi bahaların anıqlań.
Sheshiw. a) Kritik noqatlardı tabamız : tuwındın esaplaymiz: teńlemeni sheshemiz: berilgen kesindine tek noqat kiredi.
b) Funksiyanıń x=1, x=-2, x=5 noqatlar daǵı bahaların esaplaymiz:
v) tabılǵan bahalardan eń úlken M ni hám eń kishi m ni tańlaymiz :
Sonday etip, funksiyanıń eń úlken ma`nisi kesindiniń x=5 oń aqırında eken, eń kishi ma`nisi bolsa x=1 noqat daǵı minimum menen birdey eken.
2-mısal. Tárepi a ga teń bolǵan kvadrat forma daǵı kartondan hasası tuwrı tórtmuyush formada bolǵan eń úlken kólemli ústi ashıq qutı tayarlań.
Sheshiw. Ádetde, kvadrat forma daǵı kartonning múyeshlerinen teń kvadratlardı qırqıp jáne onıń shetlerin buklab, ashıq tuwrı to'tburchak forma daǵı qutı yasaladi. Eger kesilgen kvadratlardıń tárepi x desek, qutı tiykarınıń tárepi a-2 x, qutining biyikligi bolsa x ga teń. Ol halda qutining kólemi
boladı. Máseleniń shártidan ekeni kelip shıǵadı. Endi v funksiyanı kesindinde eń úlken hám eń kishi mániske sınap kóriw qaladı. ni tabamız, onı nolge teńleymiz hám kritik noqatlardı anıqlaymız :
v funksiyanıń noqatlarda bahaların esaplaymiz:
Sonday etip, de funksiya eń úlken mániske iye. Sonday eken, eń úlken kólem tiykar tárepi biyikligi ga teń bolǵanda payda boladı.
Funksiyalardıń ekstremumları

1-tariyp. Eger funksiya qandayda bir noqatda úzliksiz bolıp, sol noqattıń sonday átirapı ámeldegi bolsaqı, ol átiraptıń barlıq noqatları ushın bul

(1)
teńsizlik atqarılsa, ol halda noqat ƒ (x) funksiyanıń minimum noqatı dep ataladı ; ƒ () bolsa ƒ (x) funksiyanıń minimumı dep ataladı.
2-tariyp. Eger ƒ (x) funksiya qandayda bir noqatda úzliksiz bolıp, sol noqattıń sonday átirapı ámeldegi bolsaqı, ol átiraptıń barlıq noqatları ushın bul
ƒ (x) <ƒ () (2)
teńsizlik atqarılsa, ol halda noqat ƒ (x) funksiyanıń maksimum noqatı dep ataladı ; ƒ () bolsa ƒ (x) funksiyanıń maksimumi dep ataladı.
3-tariyp. ƒ (x) funksiyanıń minimum yamasa maksimum noqatları onıń ekstremum noqatları dep ataladı, ƒ (x) funksiyanıń minimumı yamasa maksimumi onıń ekstremumı dep ataladı.
4-tariyp. Eger ƒ (x) funksiya (a, b) intervalda anıqlanǵan hám úzliksiz, xo noqat (a, b) intervaldıń (yamasa [a, b] kesindiniń [a, b) (a, b] yarım intervallardıń ) qandayda bir noqatı bolıp, sol intervaldıń xo den ayrıqsha barlıq noqatları ushın bul ƒ (x) <ƒ (xo) teńsizlik atqarılsa, ol halda ƒ (xo) berilgen ƒ (x) funksiyanıń (a, b) intervalda eń úlken ma`nisi dep ataladı ; eger ƒ (x) >ƒ (xo) teńsizlik atqarılsa, ƒ (xo) berilgen ƒ (x) funksiyanıń (a, b) intervalda eń kishi ma`nisi dep ataladı.

Y

1

X

1

-1

0

1-chizma

Álbette tariypda keltirilgen teńsizliklerdi (a, b) den alınǵan barlıq x noqatlarda tekserip shıǵıw hámme waqıt ańsat bo'lavermaydi. Birpara ápiwayı funksiyalar ushın bul tariypga mısallar kóreylik.
1) ƒ (x) = funksiyanıń anıqlanıw tarawı [-1, 1] kesindinen ibarat. Sol kesindiniń shettegi noqatlarında, yaǵnıy x =-1, x =+1 de funksiyanıń ma`nisi nolge teń; ishki noqatlarında bolsa, >0. Biraq x dıń ma`nisi absolyut ma`nisi boyınsha azayǵan tárepke funksiyanıń ma`nisi orta baradı, x=0 bolǵanda bolsa ol óziniń eń úlken ma`nisine, yaǵnıy 1 ge erisedi.
2) ƒ (x) = funksiya ushın anıqlanıw tarawdıń: (-1, 1). Bul funksiya bólimi| x|=1 bolǵanda nolge, sonday eken ƒ (x) funksiyanıń ma`nisi + ga ıntıladı. Biraq berilgen funksiya bahaları tarawı [1, ) yarım intervaldan ibarat bolıp, funksiyanıń eń úlken ma`nisi bul tarawǵa tiyisli bolmaydı, usınıń menen birge ol qálegenshe úlken muǵdar bolıp tabıladı.
Tikkeley tekserip kóriw múmkin, 1-mısalda funksiyanıń eń kishi ma`nisi 0, 2-mısalda bolsa funksiyanıń eń kishi ma`nisi 1 boladı.

5-tariyp. Eger [a, b] kesindinde úzliksiz bolǵan ƒ (x) funksiya ushın sol kesindiniń bir neshe ishki noqatı :

1. 
   maksimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (x) dıń sol noqatlarındaǵı bahaları hám ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń úlkeni ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń úlken ma`nisi dep ataladı.
   

2) minimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń kichigi ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń kishi ma`nisi dep ataladı.

Qosımsha retinde sonı aytamizki, eger ƒ (x) funksiyanıń anıqlanıw tarawı (a, b) intervaldan (yamasa yarım intervallar (a, b],[a, b) den) ibarat bolsa, ol halda 5-tariypda ƒ (a) hám ƒ (b) lar ornına hám muǵdarları alınadı.
Ferma teorimasi. ƒ (x) funksiya qandayda bir (a, b) intervalda anıqlanǵan hám úzliksiz bolıp sol intervaldıń qandayda bir xo noqatında óziniń eń úlken yamasa eń kishi ma`nisine eriwsin. Eger ƒ' (xo) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda sol tuwındı nolge teń boladı, yaǵnıy ƒ' (xo) =0.
Tastıyıqı. Anıqlıq ushın ƒ (x) funksiya xo noqatda óziniń eń úlken ma`nisine eriwsin deylik, yaǵnıy Bunnan eger x

(3)
Eger x>xo bolsa,

(4)

teńsizliklerdi jazıw múmkin. Teorimaning shártiga kóre, ƒ' (xo) tuwındı bar. Sol sebepli (3) teńsizlikten de ni (4) den de ni payda etemiz. Bul eki munasábetten f' (xo) =0 ekeni shıǵadı. Teorima tastıyıq boldı.

3.