Ekstremmumlar nazariyasining geometrya, mexanika va fizika masalalariga tadbiqlar

Shártli ekstramumlar

1-teorima. Eger xo noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan funksiya ushın xo noqat ekstremum noqat bolsa, ol halda ƒ' (xo) tuwındı yamasa nolge teń, yamasa joq.

Tastıyıqı : noqattıń sonday átirapın alamızki, ol átirapda ƒ (x) funksiyanıń basqa ekstremum noqatı bolmaydıin. Atap aytqanda, qandayda bir δ>0 ushın () interval sonday átirap xızmetin oteydi. Sol sebepli, () intervaldıń noqatında funksiya yamasa eń úlken, yamasa eń kishi mániske erisedi; sonday eken, Ferma teorimasiga kóre, eger ámeldegi bolsa, boladı. Biraq noqatda ámeldegi bolmawi de múmkin.

a

x₀

b

0

a

a
y

-chizma

x

x₀

a

b

b-sızılma

Aytıp aytamizki, eger qandayda bir noqatda yamasa ámeldegi bolmasa, bunnan xo noqattıń ekstremum noqat ekeni kelip shıqpaydı. Atap aytqanda, funksiya ushın tuwındı, yaǵnıy noqatda ámeldegi hám nolge teń. Biraq bul noqat ekstremum noqatı emes.

1-tariyp. Qandayda bir tarawda úzliksiz bolǵan ƒ () funksiyanıń tuwındın nolge aylantıratuǵın yamasa tuwındı ámeldegi bolmaytuǵın noqatlar stasionar (kritik) noqatlar dep ataladı.

Shınıǵıwlar. Bul funksiyalardıń stasionar noqatların tabıw.

1.| x| +2. 5.| cosx|.
6.
2. 7.
3. tg3 x 8.
4. arc tgx
Ekstremum ámeldegi bolıwınıń jetkilikli shártleri.

Tómende keltriladigan eki teorima jetkilikli shártlerdi beredi. Birpara jaǵdaylarda bul teorimalar ekstremum izlewdiń birinshi, ekinshi qaǵıydaları dep da aytıladı.

1-teorema (birinshi qaǵıyda ). Eger ƒ (x) funksiya noqatda úzliksiz bolıp,
1) ( intervalda intervalda bolsa ƒ (x) >0 bolsa, ol halda ƒ (x) funksiya noqatda minimumǵa iye boladı ;
2) intervalda ƒ (x ) >0 hám ( intervalda bolsa ƒ' (x) <0 bolsa, ol halda ƒ (x) funksiya noqatda minimumǵa iye boladı.



y




x


0

x₀

x₀

a-sızılma

Bul teorimaga kóre eger noqatda ƒ' (x) tuwındı óz belgisin minusdan plyusga ózgertirse, ol halda minimum noqatı boladı (a, b, v-sızılma ), kerisinshe, eger ƒ' (x) tuwındı belgisin plyusdan minusga ózgertirse, maksimum noqatı boladı.

y

y

0

0

x

x

x₀

x₀

b -sızılma v-sızılma

Birinshi qaǵıydanı tastıyıq etiwden aldın bir neshe mısallar kóremiz:



y

0

x^/

x

a-chizma

y





x

0

x₀

b-sızılma

1. funksiyanıń ekstremumların tabıń.
Sheshiw. tuwındı ámeldegi, 2 x=0 den stasionar noqat x=0 ekeni kelip shıǵadı. Endi funksiyanıń x=0 den chapda hám ońında belgisin tekseremiz. Onıń ushın qálegen, biraq jetkilikli kishi oń h sanın alamız. Keyininen hám muǵdarlardı esaplab, belgisin anıqlaymız. Biziń mısal ushın. Sonday etip, ƒ' (-h) =2* (-h) =-2 h<0, (h>0-tańlanıw boyınsha ) ƒ' (h) =2* (+h) =2 h>0.

y

x

0

x₀

Usıdan ayqın boladı, =0 noqatda ƒ' (x) tuwındı belgisin minusdan plyusga ózgertiryapdi. Sonday eken, 1-teorema boyınsha noqat minimum noqatı bolıp tabıladı. funksiyanıń minimumın tawıp qóyamız ;

Demek,
Shınıǵıwlar. Bul funksiyalardıń ekstremumların tabıń.
1. y= 5. y=
2. y= 6. y=
3. y=
4. y= 7. y=
Endi 1-teoremani tastıyıqlaymız. Eger bolsa, ol halda intervalınıń den ayrıqsha barlıq noqatlar ushın bul

Lagranj formulasın jazıw múmkin, ol jaǵdayda yamasa yamasa. Teoremaning 1- holi ushın ekenin kórsetemiz. Haqıyqattan da, eger (yaǵnıy bolsa, teoremaning shártiga kóre hám boladı. Sonday eken, boladı, yaǵnıy yamasa Eger (yaǵnıy ) bolsa, ol halda hám teoremaning shártiga kóre Sol sebepli hám taǵı teńsizlik kelip shıǵadı. Sonday eken, (a, b) intervaldıń den ayrıqsha qálegen x noqatları ushın munasábet orınlı eken. Bul bolsa noqatda f (x) funksiya minimumǵa egaligidan bildirgi beredi.
2- teorema (ekinshi qaǵıyda ). f (x) funksiya (a, b) intervalda úzliksiz bolıp, onıń noqatında birinshi hám ekinshi tártipli tuwındı ámeldegi bolsın. 1) Eger hám bolsa, ol halda -maksimum noqatı boladı ; 2) Eger hám bolsa, ol halda minimum noqatı boladı.

Funksiyalardıń kesindindegi eń úlken hám eń kishi bahaları

Ekenin aytıw kerek,[a, b] kesindinde úzliksiz bolǵan funksiya sol kesindinde óziniń eń úlken hám eń kishi bahalarına erisedi. Sol bahalardı qanday tabıw múmkin?
Eger funksiya monoton bolsa (onıń tuwındı óz belgisin saqlasa, yaǵnıy ol yamasa terismes, yamasa ońmas bolsa ), ol halda funksiyanıń eń úlken hám eń kishi bahaları [a, b] kesindiniń aqırlarında -x=a hám x=b noqatlarda boladı.
Eger funksiya monoton bolmasa (yaǵnıy onıń tuwındı belgisin ózgertirse), ol halda funksiya ekstremumlarǵa iye boladı. Bul halda eń úlken hám eń kishi bahalar ekstremumlar menen birdey bolıwı múmkin, ekenin aytıw kerek, ekstremumlar kritik noqatlarda boladı.
Sonday etip, funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń úlken hám eń kishi bahaların tabıw ushın :
1) funksiyaning kritik noqatların anıqlaw ;
2) funksiyaning kritik noqatlarındaǵı hám kesindiniń aqırları daǵı bahaların esaplaw ;
3) topilgan bahalardan eń úlken hám eń kishi bahalardı tańlaw kerek, áne sol bahalar funksiyanıń [a, b] kesindindegi eń úlken hám eń kishi bahaların ańlatadı.
1-mısal. funksiyanıń [- ] kesindindegi eń úlken hám eń kishi bahaların anıqlań.
Sheshiw. a) Kritik noqatlardı tabamız : tuwındın esaplaymiz: teńlemeni sheshemiz: berilgen kesindine tek noqat kiredi.
b) Funksiyanıń x=1, x=-2, x=5 noqatlar daǵı bahaların esaplaymiz:
v) tabılǵan bahalardan eń úlken M ni hám eń kishi m ni tańlaymiz :
Sonday etip, funksiyanıń eń úlken ma`nisi kesindiniń x=5 oń aqırında eken, eń kishi ma`nisi bolsa x=1 noqat daǵı minimum menen birdey eken.
2-mısal. Tárepi a ga teń bolǵan kvadrat forma daǵı kartondan hasası tuwrı tórtmuyush formada bolǵan eń úlken kólemli ústi ashıq qutı tayarlań.
Sheshiw. Ádetde, kvadrat forma daǵı kartonning múyeshlerinen teń kvadratlardı qırqıp jáne onıń shetlerin buklab, ashıq tuwrı to'tburchak forma daǵı qutı yasaladi. Eger kesilgen kvadratlardıń tárepi x desek, qutı tiykarınıń tárepi a-2 x, qutining biyikligi bolsa x ga teń. Ol halda qutining kólemi
boladı. Máseleniń shártidan ekeni kelip shıǵadı. Endi v funksiyanı kesindinde eń úlken hám eń kishi mániske sınap kóriw qaladı.
ni tabamız, onı nolge teńleymiz hám kritik noqatlardı anıqlaymız :
v funksiyanıń noqatlarda bahaların esaplaymiz:
Sonday etip, de funksiya eń úlken mániske iye. Sonday eken, eń úlken kólem tiykar tárepi biyikligi ga teń bolǵanda payda boladı.


ÁDEBIYATLAR

1. A. G. Xikmatov, T. T. Turdiev. “Matematikalıq analiz”.-T.: Ukituvchi, 1980, 248-b.

2. Y. Ol. Saatov. “Joqarı matematika”. 1-úshek -T.: Ukituvchi, 1992.
3. T. Azlarov, M. A. Sobirov, M. Saxaev. “Matematikadan kullanma”.-T.: Uqituvchi, 1979 y.
4. A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov hám boshkalar. “Algebra hám analiz tiykarlari”. 9 -10 klasslar ushın ukuv kullanma.-T.: Ukituvchi, 1987 y, 352-b.
5. F. Erejepov, S. Masharipova, R. Madraximov. “Joqarı matematika”. (Oqıw qóllanba ),-T.: “Turan -ıǵbal”, 2007 y.