Electrical circuits lecture notes b. Tech

Example: Determine the current flowing through the ammeter having an internal 
resistance of 1 Ω connected in series with a 3 Ω resistor as shown in the fig (a).? 
 
Fig.(a) 

---

Solution: 
 
The current flowing through the 3
 
Ω
 
branch i, 
i=I
t
[6/(6+3)] 
I
t
=
10
(4+(6∥3))
I
t
=
10
(4+2)
I
t
=1.67A 
i=1.67[6/(6+3)] 
i=1.11A 
Now when we connect the ammeter
 
with an internal resistance of 1 Ω in the 3 Ω branch ,there is 
a change in resistance . This change in resistance causes currents in other branches as if a voltage 
source of voltage v is 
V= i. R = 1.11x1 = 1.11v 
1.11v is inserted in the 3 Ω branch as shown in the fig (1) below. 
Fig.(1) 

---

Current due to this additional source of 1.11 V in the 3 Ω branch i
a
is, 
i
a
=
1.11
(1+3+(6∥4))
i
a
=
1.11
(1+3+2.4)
i
a
=0.17A 
This current flows in the opposite direction to that of the original current i through the 3 Ω 
branch(i.e. i
a
is opposite to i) 
Hence Ammeter reading = i
a
-i=(1.11 – 0.17) = 0.94 A 
Millman’s Theorem: 
Millman’s Theorem is a theorem which helps in simplifying electrical networks 
with a bunch of parallel branches. The utility of this theorem that, any number of parallel voltage 
sources can be reduced to one equivalent one.
Millman’s Theorem Statement: 
The Millman’s Theorem states that – when a number of voltage sources (V
1
, V
2
, 
V
3
……… V
n
) are in parallel having internal resistance (R
1
, R
2
, R
3
………….R
n
) respectively, the 
arrangement can replace by a single equivalent voltage source V in series with an equivalent 
series resistance R. 
 
As per Millman’s Theorem, 
V =
±V
1
G
1
± V
2
G
2
± ⋯ … … … ± V
n
G
n
G
1
+ G
2
+ ⋯ … … … + G
n
;
𝑅 =
1
𝐺
=
1
G
1
+ G
2
+ ⋯ … … … + G
n

---

A DC network of numerous parallel voltage sources with internal resistances supplying power to 
a load resistance RL as shown in the figure below. 
Let I represent the resultant current of the parallel current sources while G the equivalent 
conductance as shown in the figure below. 
I = I
1
+ I
2
+ I
3
… … … … … ;
G = G
1
+ G
2
+ G
3
… … … … …
(or) 
I =
±I
1
R
1
±I
2
R
2
±⋯………±I
n
R
n
R
1
+R
2
+⋯………+R
n
; 
𝐺 =
1
𝑅
=
1
R
1
+ R
2
+ ⋯ … … … + R
n
The resulting current source is converted to an equivalent voltage source as shown in the fig. 

---

𝑉 =
𝐼
𝐺
=
±I
1
± I
2
± ⋯ … … … ± I
n
G
1
+ G
2
+ ⋯ … … … + G
n
𝑅 =
1
𝐺
=
1
G
1
+ G
2
+ ⋯ … … … + G
n
And as we know,I = V/R, and we can also write R = 1/G as G = 1/R So the equation can be 
written as, 
𝑉 =
±
V
1
R
1
±
V
2
R
2
± ⋯ … … … ±
V
n
R
n
1
R
1
+
1
R
2
+ ⋯ … … … +
1
R
n