ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
43
((16,5). egyenlet).
Itt mindkét felületi integrálban E
n
a térerősség kifelé mutató normális irányú komponense. Ha az F' felületet kitoljuk a végtelenbe, az első ( F'-re vett)
integrál eltűnik. Ugyanis a végtelenben az F vezető tere úgy viselkedik, mint a pontszerű töltésé, tehát Φ úgy tart zérushoz, mint , a térerősség
pedig úgy, mint . Az integrandusz tehát szerint viselkedik. A felületelem r
2
szerint tart végtelenhez, ezért az egész integrál úgy tart a zérushoz,
mint . A vezető felületére vett második integrálban E
n
helyére (13,4) alapján 4 πη írható. Tehát:
.
Mivel a Φ potenciál a vezető felületén állandó, kiemelhető az integrál elé:
((16,6). egyenlet).
A potenciál és a vezető kapacitása közötti (16,1) összefüggés alapján (16,6) a következőképpen is írható:
((16,7). egyenlet).
Eszerint a töltött vezetők által keltett elektrosztatikus tér energiáját a vezető töltése és kapacitása a (16,7) egyszerű összefüggés szerint határozza
meg.
Az itt követett gondolatmenet könnyen általánosítható arra az esetre, ha a térben több töltött vezető van jelen. Ekkor a tér energiája:
((16,8). egyenlet),
ahol e
k
és Φ
k
a k-adik vezető töltése, ill. potenciálja, az összegezés pedig a jelen levő vezetőkre történik. N a vezetők számát jelenti.
A k-adik vezető Φ
k
potenciálja most nemcsak az e
k
töltéstől függ, hanem a többi vezető e
i
töltésétől is. Mivel a töltések összegének potenciálja az
egyes töltések potenciáljainak összegével egyenlő, Φ
k
lineárisan függ e
i
-től:
ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
44
((16,9). egyenlet).
Az a
ki
együtthatók a vezetők egymáshoz viszonyított helyzeteitől függnek. Ha η
i
helyett bevezetjük az i-edik vezető egységnyi töltéseloszlását leíró
η'
i
sűrűségfüggvényt az
((16,10). egyenlet)
képlet alapján, akkor a potenciálra vonatkozó (12,6) általános képletből következik:
((16,10). egyenlet).
r
ki
az i-edik vezető integrációs felületelemének a k-adik vezető valamely rögzített pontjától mért távolságát jelenti.
Ha a (16,9) egyenleteket a töltésekre megoldjuk, akkor a vezetők e
i
töltéseit a Φ
k
potenciálok lineáris kifejezéseként kapjuk:
((16,11). egyenlet).
C
ik
= D
ik
/D, ahol D a (16,9) egyenletben szereplő együtthatók determinánsa, D
ik
pedig az a
i
elemhez tartozó aldetermináns.
Az a
ik
együtthatókat potenciál-együtthatóknak, a C
ik
együtthatókat pedig kapacitás-együtthatóknak vagy az i-edik és k-adik vezető kölcsönös
kapacitásának nevezzük. Segítségükkel a vezetők rendszerének elektrosztatikus energiáját (16,8), (16,9) és (16,11) alapján a következőképpen
fejezhetjük ki:
((16,12). egyenlet).
Mivel az U energia állapotfüggvény (a rendszer feltöltéseinél végzett munka független az egyes részfolyamatok egymás utáni sorrendjétől), az a
ik
és C
ik
együtthatók szimmetrikusak:
((16,13). egyenlet).
A C
ii
együttható az i-edik vezető kapacitása.
Az a
ik
és C
ik
együtthatók elméleti meghatározása általában bonyolult matematikai feladat. Megoldása csak egyszerűbb esetekben lehetséges.
Általában közelítéssel kell megelégednünk, vagy kísérleti úton határozzuk meg az együtthatókat.
ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
45
Kondenzátor
Tekintsünk egymás közelében levő két töltött vezetőt, amelyek közül egyiknek +e, a másiknak –e a töltése. Az ilyen vezetőrendszert nevezzük
kondenzátornak. A kettős végtelen vezető sík idealizált példáján láttuk, hogy a tér a két vezető közé sűrűsödik, és a vezetők környezetére korlátozódik.
Az erővonalak a +e töltésű vezetőből indulnak ki, és a –e töltésűbe torkollanak. A vezető lapokat a kondenzátor fegyverzeteinek nevezzük. Az egyik
potenciálja legyen Φ
1
, a másiké Φ
2
. A két fegyverzet közötti potenciálkülönbség:
((17,1). egyenlet).
A kondenzátor kapacitásán a pozitív töltésű fegyverzet töltésének és a (Φ
1
– Φ
2
) potenciálkülönbségnek a hányadosát értjük:
((17,2). egyenlet).
Példaként tekintsük a síkkondenzátort és a gömbkondenzátort. Előbb a síkkondenzátorral foglalkozunk. Síkkondenzátornál a két fegyverzet
egymástól kis d távolságra levő töltött síklap (26. ábra). Ha d kicsi a fegyverzetek méreteihez képest, akkor a 15. pont eredményeit használhatjuk.
Eszerint a fegyverzetek közötti potenciálkülönbséget (15,1) alapján a következő képlet adja:
((17,3). egyenlet).
26. ábra -
A síkkondenzátor kapacitása tehát:
ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
46
((17,4). egyenlet).
Ha az egyik fegyverzet felületét F-fel jelöljük, akkor a homogén töltéseloszlás miatt e = ηF. Ezt (17,4)-be helyettesítve kapjuk, hogy
((17,5). egyenlet).
A síkkondenzátor kapacitása tehát annál nagyobb, minél nagyobb a fegyverzetek felülete, és minél kisebb a közöttük levő d távolság.
Gömbkondenzátoron két koncentrikus töltött vezető gömböt értünk. A belső gömb sugara legyen R
1
, töltése +e; a külső gömbé R
2
, töltése –e (27.
ábra). A fegyverzetek közötti potenciálkülönbséget (17,1)-ből (14,6) felhasználásával kapjuk:
((17,6). egyenlet)
(Itt az integrálást a sugárirányú vonal mentén végeztük el.)
27. ábra -
A gömbkondenzátor kapacitása (17,2) és (17,6) alapján tehát:
((17,7). egyenlet).
(17,7) -ből látszik, hogy a gömbkondenzátor kapacitása a belső gömb R
1
kapacitásának R
2
/(R
2
– R
1
)-szerese. Mivel R
2
– R
1
általában kicsi, ez a
tényező nagyon jelentős. Ezért kondenzátorokon adott potenciálkülönbség esetén tekintélyes töltésmennyiség halmozható fel.
Dostları ilə paylaş: |