Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
56
A második integrált Gauss-tétellel felületi integrállá alakítjuk:
 ((21,3). egyenlet).
A felületi integrál a V tartomány F határoló felületére terjesztendő ki. A
jelölésekkel (21,3) olyan alakra hozható, mint a ϱ
p
 térfogati és η
p
 felületi sűrűségű töltéseloszlás potenciálja:
 ((21,4). egyenlet).
A térfogati dipoluseloszlással tehát ekvivalens a ϱ
p
 = –div 
P sűrűségű térfogati és az η
p
 = P
n
 sűrűségű felületi töltéseloszlás. A ϱ
p
, η
p
 sűrűségeket
polarizációs töltéssűrűségeknek nevezzük.
Ha a 
P dipolmomentum-sűrűség az anyag belsejében állandó, vagyis a dipoleloszlás homogén, akkor div P = – ϱ
p
 = 0. Szemléletesen ez annyit jelent,
hogy a homogén dipoleloszlású anyag belsejében minden elemi térfogatban ugyanannyi pozitív töltés van, mint negatív. Az egymáshoz szabályosan
illeszkedő elemi dipólusok pozitív és negatív pólusai egymást kompenzálják (33. ábra). A felület mentén marad csak kompenzálatlan pólus, és ezért
a felületnek van töltése: a 
P irányával megegyező normálisú felületen pozitív, az ellentétesen negatív a felületi töltés.
33. ábra -
A 12. pontban a Green-tétel felhasználásával elvégzett bizonyítás alapján nyilvánvaló, hogy az elektrét (21,3) potenciálja kielégíti a
 ((21,5). egyenlet)

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
57
egyenletet. A térerősség és a potenciál közötti
E = – grad Φ
összefüggést figyelembe véve, látható, hogy fennáll a
 ((21,6). egyenlet)
egyenlet. Az elektromos térerősség az elektréten kívül tehát divergenciamentes, azon belül pedig forrásai vannak ott, ahol
. A (21,6) írható
a következő alakban is:
 ((21,7). egyenlet).
Az (5,1)–II. Maxwell-egyenlettel összevetve, látható, hogy térfogati dipóluseloszlás esetén a 
D indukcióvektor és az E elektromos térerősség között
fennáll a
 ((21,8). egyenlet)
általános összefüggés. Az elektréten kívül 
P = 0, ezért D = E.

---

58
3. fejezet - ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
Az előző pontokban az elektrosztatikus tér törvényszerűségeit olyan esetekben vizsgáltuk, amikor a teret keltő töltésrendszer vákuumban helyezkedik
el. Ekkor a térre jellemző két vektor, az elektromos térerősség (
E) és az elektromos indukció vektora (D) azonosan megegyezik. A gyakorlati életben
előforduló problémáknál azonban általában nem ez a helyzet, hanem a teret valamilyen makroszkopikus közeg – a legegyszerűbb esetben pl.
levegő – tölti ki. Faraday felismerése óta tudjuk, hogy a közegnek igen lényeges szerepe van az elektromos tér kialakításában. A közeg befolyására
az elektromos térerősség megváltozik a vákuumhoz képest. A jelenségek fenomenológiai leírásánál a közeget az anyagra jellemző ún. anyagi
együtthatókkal vesszük tekintetbe.
A  következő  pontokban  a  szigetelőanyagok,  az  ún.  dielektrikumok  elektromos  teret  befolyásoló  hatását  vizsgáljuk.  Egyelőre  az  izotrop  testek
egyszerűbb esetére korlátozódunk. Izotrop közegek dielektromos együtthatója (ε) skalár, és a legtöbb esetben állandónak tekinthető. Az állandó
dielektromos együtthatójú anyagokat homogén izotrop dielektrikumoknak nevezzük. Az általános esetben természetesen ε függhet a helytől és az
anyag sűrűségétől.
Izotrop közegekben az elektromos indukció és az elektromos térerősség között a (16) összefüggés áll fenn:
D = εE.
Sztatikus tér esetén mind az 
E, mind a D vektor a helynek a függvénye: D = D(x, y, z), E = E(x, y, z). Homogén szigetelők esetén ε állandó, inhomogén
szigetelőknél pedig ε is a hely függvénye.
Az elektrosztatikus tér alapegyenletei dielektrikumokban
Az elektromos teret leíró alapegyenleteket a Maxwell-egyenletek szolgáltatják:
 ((22,1). egyenlet),
 ((22,2). egyenlet).
E differenciálegyenletekhez hozzá kell vennünk a 
D és E közötti kapcsolatot megadó
 ((22,3). egyenlet)

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
59
anyagi egyenletet.
Az elektrosztatika alapfeladata: a (22,1)–(22,3) egyenletek megoldásával meghatározni a megadott ϱ = ϱ(x, y, z) töltéseloszláshoz tartozó 
E = E(x, y,
z), 
D = D(x, y, z) vektortereket. A 6. pontban láttuk, hogy a különböző közegekre nyert megoldásokat az egymással érintkező közegek határfelületére
érvényes ún. határfeltételek segítségével kapcsoljuk össze. E határfeltételek a következők:
 ((22,4). egyenlet),
 ((22,5). egyenlet).
Az n, illetve t indexek a normális, illetve tangenciális komponenseket jelölik. Az indukcióvektor tangenciális, valamint a térerősségvektor normális
komponenseire vonatkozó határfeltételek a (22,4), (22,5) egyenletekből a (22,3) anyagi egyenlet felhasználásával könnyen felírhatók.
(22,1)-ből látszik, hogy az elektrosztatikus tér dielektrikumokban is rotációmentes, tehát skalár potenciálból származtatható. Eszerint
 ((22,6). egyenlet).
A problémák megoldása ezáltal jelentősen egyszerűsödik, mert elég a Φ skalárt meghatározni, és ebből a térerősség egyszerű gradiensképzéssel
adódik, mint vákuumban. A Φ potenciálra vonatkozó egyenletet (22,6)-nak (22,2)-be való helyettesítésével kapjuk:
 ((22,7). egyenlet).
Ha a közeg homogén, vagyis ε állandó, akkor ε kiemelésével (22,7)-ből a következő egyszerűbb egyenletet kapjuk a Φ potenciálra:
 ((22,8). egyenlet).
A térmennyiségekre vonatkozó (22,4), (22,5) határfeltételek is kifejezhetők a Φ potenciál segítségével. A két közeg dielektromos együtthatóját jelöljük
ε
2
-vel, illetve ε
1
-gyel. így (22,6) és (22,3) tekintetbevételével adódik:
 ((22,9). egyenlet),
 ((22,10). egyenlet).
A (22,8) Poisson-egyenlet megoldása a 12. pontban követett gondolatmenet alapján azonnal felírható:

---