ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
64
irányába. A molekulák állandó hőmozgása e rendeződés ellen hat, ezért az így létrejövő szuszceptibilitás (amit paraelektromos szuszceptibilitásnak
nevezünk) fordítva arányos a hőmérséklettel.
1
2. A második eset az, amikor elektromos tér jelenléte nélkül a molekuláknak vagy atomoknak nincs elektromos dipolmomentumuk. Az elektromos
tér jelenléte a molekulán vagy atomon belüli töltéseloszlást megváltoztatja, a pozitív töltés súlypontját a térerősség irányába, a negatívét ellenkező
irányba húzza szét. A kétféle töltés szétválása azonban csak a molekulán vagy atomon belül történik meg; ellentétben a vezetőkkel, ahol a tér
„megosztó” hatására a két ellentétes töltés a vezető ellentétes felületeire vándorol. Az elektromos tér kis molekuláris dipólusokat hoz tehát létre. Ez
az effektus független a hőmérséklettől. A jelenséget dielektromos
polarizációnak nevezzük.
A dipolmomentum-sűrűség (23,13) képletéből látszik, hogy a szigetelő polározottsága megszűnik, ha az elektromos teret kikapcsoljuk (kivételek az
elektrétek!).
Az elmondottakat összefoglalva, megállapíthatjuk, hogy a töltések (
ϱ,
η) által keltett elektromos teret a szigetelő azáltal befolyásolja, hogy a polarizáció
révén kialakult térfogati dipóluseloszlás potenciálja hozzáadódik a vákuumban érvényes potenciálhoz. Végeredményben tehát:
((23,15). egyenlet).
A 21. pontban megmutattuk, hogy a folytonos dipóluseloszlás tere ekvivalens a
ϱ
p
= – div
P,
η
p
=
P
n
polarizációs töltések által keltett térrel. Ennélfogva
a szigetelők térmódosító hatását úgy is értelmezhetjük, hogy az elektromos tér a dielektrikum polarizációja révén abban polarizációs töltéseket hoz
létre, amelyek tere hozzáadódik az eredeti elektromos térhez. A szigetelő belsejében bármely pontban a töltéssűrűség eszerint két részből tevődik
össze: a vezetőbe ágyazott
ϱ töltések – amelyek az eredeti teret keltik – és a
ϱ
p
polarizációs töltések sűrűségéből. Megmutatható, hogy e kettő
összege a (22,11) potenciálképletben szereplő
ϱ/
ε-nal egyenlő:
((23,16). egyenlet).
A vezető felületén levő
η felületi töltéssűrűség is ugyanilyen okból csökken
ε-od részére:
,
ahol
E
n
most a szigetelőből kifelé, tehát a vezetőbe mutató normális menti komponens. Az anyagi egyenlet, valamint a (23,6) egyenlet
figyelembevételével
E
n
kifejezhető a felületi töltéssűrűséggel. Az átalakításnál vigyáznunk kell azonban arra, hogy (23,6)-ban a normális irányítása
az itteninek éppen ellentétese. Eszerint tehát:
((23,17). egyenlet).
1
A Boltzmann-statisztika alapján történő levezetését lásd Károlyházy–Marx–Nagy: Statisztikus mechanika c. könyv 142. oldalán. Műszaki Könyvkiadó,
Budapest, 1965.
ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
65
Ha a teret nem egy, hanem kettő vagy több szigetelő tölti ki, akkor a két szigetelő határfelületén is kialakul
η
p
polarizációs felületi töltéssűrűség,
amely a két szigetelőre vonatkozó
P
1
, illetve
P
2
polarizációvektor normális komponensének különbségével egyezik meg. Ezt a következőképpen
lehet belátni. Gondoljuk el, hogy a
V térfogatot két különböző dielektromos együtthatójú szigetelő
tölti ki (34. ábra).
34. ábra -
A két szigetelőt elválasztó határfelület legyen
F'. Az egyik dielektromos együtthatója legyen
ε
1
, a másiké
ε
2
. Az általuk kitöltött térfogat
V
1
, illetve
V
2
.
Tehát,
V
1
+
V
2
=
V. A dielektrikum
Φ
d
potenciálját a
vektoranalitikai összefüggés felhasználásával átalakítjuk:
((23,18). egyenlet).
A jobb oldali első integrál Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható. Mivel a két szigetelőt elválasztó
F' felület mentén
P-nek ugrása van, a Gauss-
tétel nem alkalmazható minden további nélkül. Az
F' felületet a vele párhuzamosan haladó , felületekkel kizárjuk a
V tartományból, majd végül
határátmenettel -t és -t
F'-re húzzuk. A szóban forgó térfogati integrál így a következő felületi integrálok összegére bontható:
((23,19). egyenlet).
Az
,
határátmenettel az -re és -re vett integrálok az
F'-re vett integrálokba mennek át.
F' normális egységvektorát válasszuk úgy,
hogy az
ε
1
dielektromos állandójú közegből mutasson az
ε
2
dielektromos állandójúba. Így (23,19) a következőképpen írható:
ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
66
((23,20). egyenlet).
A jobb oldali első integrál az
F
1
-re és
F
2
-re vett integrálok összege, ugyanis
F
1
+
F
2
= F. A szigetelő határán tehát
η
p
=
P
n
sűrűségű felületi töltés
alakul ki, a két szigetelő elválasztó felületén pedig
. A határra vonatkozó töltéssűrűség is írható tulajdonképpen
alakba, mert a
határfelületet a szigetelő és a vákuum elválasztó felületének
fogva fel,
.
A szigetelők jelenlétében kialakult elektrosztatikus tér (23,15) potenciálja tehát:
((23,21). egyenlet),
ahol
((23,22). egyenlet),
((23,23). egyenlet)
a polarizációs töltéssűrűség.
F" a töltött vezetők felülete,
F' a két szigetelő elválasztó felülete,
F pedig a szigetelő külső határoló felülete. Ha a szigetelő
a végtelen teret kitölti,
akkor az F-re vett integrál eltűnik.
(23,21) potenciál a 12. pont alapján kielégíti a
((23,24). egyenlet)
egyenletet. Az
E = – grad
Φ
összefüggés figyelembevételével ez a következőképpen írható:
((23,25). egyenlet).
Ebből átrendezéssel adódik, hogy