Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
60
 ((22,11). egyenlet).
Ha a szigetelőben elektromosan töltött vezetők vannak, az általuk keltett sztatikus tér potenciálja (12,6) és (22,11) mintájára a következő:
 ((22,12). egyenlet).
Ismert ϱ, illetve η töltéssűrűségek esetén a sztatikus tér potenciálját a (22,11), (22,12) egyenletek segítségével határozhatjuk meg.
Vezetők esetén η általában nem adható meg egyszerű függvény segítségével. Ilyenkor a vákuumbeli esethez hasonlóan járunk el szigetelők esetében
is. A keresett Φ potenciálnak a vezetőkön kívül ki kell elégítenie a
 ((22,13). egyenlet)
egyenletet és a következő feltételeket:
a) Φ a vezetők felületén (és azok belsejében) állandó;
b) az ε grad Φ normális komponensének a vezető felületére vett integrálja a vezető összes töltésének (–4π)-szeresével egyenlő:
 ((22,14). egyenlet).
A homogén szigetelőben elhelyezett e pontszerű töltés elektrosztatikus terének potenciálja a tér x, y, z koordinátájú P pontjában:
 ((22,15). egyenlet),
ahol
a P potenciálpont és az x
0
, y
0
, z
0
 koordinátájú töltés közötti távolság. A térerősség (22,6) alapján (22,15)-ből gradiensképzéssel adódik:
 ((22,16). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
61
 a ponttöltéstől a P pont felé mutató egységvektor. A tér gömbszimmetrikus, sugárirányú. Erőssége a vákuumbeli értéknek ε-od része.
(22,16)-nak megfelelően a két ponttöltés között ható Coulomb-erő is ε-od része a vákuumbelinek:
 ((22,17). egyenlet).
A dielektrikum polarizációja
A homogén szigetelőkben elhelyezkedő térfogati eloszlású töltések és töltött vezetők elektrosztatikus potenciálját a (22,11) és a (22,12) képlet adja
meg. A szigetelő szerepe formálisan abban jelentkezik, hogy a potenciál értékét a vákuumhoz képest ε-od részére csökkenti. Pontosabban szólva,
a ϱ, illetve η sűrűségű töltéseloszlás által homogén szigetelőben keltett tér erőssége olyan, mintha azt ϱ/ε, illetve η/ε sűrűségű töltéseloszlás keltette
volna. Ahhoz, hogy a szigetelő szerepének mélyebb fizikai értelmét kiderítsük, a potenciál kifejezését átalakítjuk úgy, hogy az a vákuumbeli kifejezés
és a szigetelőre jellemző Φ
d
 potenciál összege legyen. Tehát
 ((23,1). egyenlet).
Itt Φ
0
 a vákuumban érvényes potenciált jelenti.
Gondoljuk el, hogy a V térfogatot homogén szigetelő tölti ki, amelyben ϱ sűrűségű térfogati töltéseloszlás és F felületű, η sűrűséggel töltött vezető
van elhelyezve. Az ilyen töltéseloszlás által keltett sztatikus tér potenciálját a (22,11) és (22,12) összege adja:
 ((23,2). egyenlet).
A V térfogatot tekintsük olyan nagynak, hogy az azt határoló F' felületen kívül töltés már ne legyen.
A (23,2) potenciálképlet azonos átalakítással a következő alakba írható:
 ((23,3). egyenlet).
Itt ε-t nyugodtan kiemelhettük az integrál elé, mert feltevésünk szerint a szigetelő homogén, tehát ε = const. A jobb oldal első két tagja a vákuum
esetén érvényes potenciált adja, ezt jelöltük előbb Φ
0
-val. A dielektrikum hatása a harmadik és negyedik tagban jelentkezik. A (23,1) és (23,3)
képletek összehasonlítása mutatja, hogy

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
62
 ((23,4). egyenlet),
 ((23,5). egyenlet).
Vákuum (ε = 1) esetén Φ
d
 = 0.
Foglalkozzunk  most  kicsit  részletesebben  a  szigetelő  befolyását  tartalmazó  Φ
d
  potenciállal.  A  töltéssűrűségeket  fejezzük  ki  a  (22,2)  és  (22,4)
egyenletekből, figyelembe véve, hogy a vezető belsejében nincs elektromos tér. Tehát 
, ha n
1
 a vezető belsejébe mutató normálist jelöli.
Ennélfogva írható:
 ((23,6). egyenlet).
A (23,6) második képletében D
n
-nél elhagytuk a 2-es indexet, és D
n
-en a vezető külső normálisa irányába eső komponenst értjük. E kifejezések
behelyettesítése után Φ
d
 a következő alakot veszi fel:
 ((23,7). egyenlet).
A térfogati integrált átalakítjuk a
vektoranalitikai összefüggés, valamint a Gauss-tétel felhasználásával:
 ((23,8). egyenlet).
A második és negyedik integrál kiejti egymást. Ezért Φ
d
 a következő:
 ((23,9). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
63
A V tartomány F' határfelületét toljuk ki a végtelenbe. Ez annyit jelent, hogy az egész végtelen teret az ε dielektromos állandójú homogén szigetelő
tölti ki. Ebben a határesetben a második integrál zérushoz tart. Ugyanis 
 esetén az integrandusz   szerint tart zérushoz, a felületelem pedig
r
2
 szerint tart végtelenhez. Végeredményben az integrál zérushoz tart. A Φ
d
 potenciál tehát:
 ((23,10). egyenlet).
A 
D = εE anyagi egyenlet figyelembevételével D-t fejezzük ki E-vel:
 ((23,11). egyenlet).
A térfogati dipóluseloszlás potenciáljának (21,1) képletével összehasonlítva, látjuk, hogy Φ
d
 a
 ((23,12). egyenlet)
sűrűségű  térfogati  dipóleloszlás  potenciáljával  egyezik  meg.  Eszerint  elektromos  tér  jelenlétekor  a  szigetelő  úgy  tekinthető,  hogy  abban  elemi
dipólusok vannak. A dipolmomentum térfogati sűrűsége arányos az elektromos térerősséggel:
 ((23,13). egyenlet),
ahol
 ((23,14). egyenlet)
a szigetelőre jellemző anyagi együttható; neve: elektromos szuszceptibilitás. A 
P dipolmomentum-sűrűséget másképpen polarizációvektornak is
nevezzük.
A térerősséggel arányos dipolmomentum-sűrűség lényegében kétféleképpen állhat elő:
1. Lehetséges, hogy a szigetelőt alkotó molekuláknak már eleve van elektromos dipolmomentumuk. A molekulán belüli töltéseloszlás olyan, hogy a
pozitív és negatív töltések súlypontja nem esik egybe. Az elektromos tér nélkül a molekulák dipólusai teljesen rendezetlen eloszlásban vannak, és
ezért a szigetelő eredő dipolmomentuma zérus. Az elektromos tér bekapcsolásakor a dipólusok rendeződnek, és igyekeznek beállni a térerősség

---